Titik kumpul ialah titik di mana disekitarnya banyak titik lain yang bersahabat dengan dirinya. Dalam kajian lain titik kumpul biasa dinamakan dengan titik limit. Mungkin senada dengan perumpamaan mean, modus, dan median dalam statistika.
Himpunan Titik pada Persekitaran
Defenisi:
a. Titik $x\in R$ yakni titik kumpul dari $S\subseteq R$, kalau untuk setiap $\varepsilon > 0$, persekitaran $\varepsilon$ dari $x$ menampung paling sedikit satu anggota $S$ yang berlainan dari $x$.
Notasi:
$x\in R\wedge S\subseteq R$
$x \text{ Clp S}\Leftrightarrow \left ( \forall x> 0 \right )\left [ \left ( V_{\varepsilon }\left ( x \right ) \cap S\right )-\left \{ x \right \} \right ]\neq \varnothing $
b. Titik $x\in R$ yakni titik kumpul dari $S\subseteq R$, kalau untuk setiap $n\in N$ terdapat $S_{n}$ anggota $S$ sedemikian sampai $0< \left | x-S_{n} \right |< \frac{1}{n}$ .
Notasi:
$x\in R\wedge S\subseteq R$
$x \text{ Clp S}\Leftrightarrow \left ( \forall n> N \right )\left ( \exists S_{n}\in S \right ) \ni 0< \left | x-S_{n} \right |< \frac{1}{n} $
Contoh 1:
Ditentukan $S = (0,1)$. Tunjukkan bahwa $\frac{1}{2}$ cluster point dari $S$.
Penyelesaian:
Ambil sembarang $\varepsilon > 0$
$V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )=\left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$
Harus dicari $y\in S$ dengan $y\neq \frac{1}{2}$, tetapi $y\in \left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$
- Jika $\varepsilon > \frac{1}{2}$ , maka $(0,1)\subseteq \left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$Berarti $V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap (0,1)=(0,1)$Jadi, $V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap (0,1)-\left \{ \frac{1}{2} \right \}=\varnothing $
- Jika $\varepsilon \leq \frac{1}{2}$, maka $V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )=\left ( \frac{1}{2}-\varepsilon ,\frac{1}{2}+\varepsilon \right )$Ambil $y=\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon }{2}$, maka $y\in V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )$ dan $y\neq \frac{1}{2}$, $y\in S$Karena $y\in \left ( V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap S \right )-\left \{ \frac{1}{2} \right \}$, maka $\left ( V_{\varepsilon }\left ( \frac{1}{2} \right )\cap S \right )-\left \{ \frac{1}{2} \right \}\neq \varnothing $
Dari (i) dan (ii) ditarik kesimpulan bahwa $\frac{1}{2}$ cluster point $S$.
Contoh 2:
Misalkan $S=\left \{ x\in R\mid x\leq 2 \right \}$. Tunjukkan bahwa $2\in R$ titik kumpul dari $S$.
Notasi: $\left ( \forall _{\varepsilon } > 0\right )\left [ \left ( V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S \right )-\left \{ 2 \right \} \right ]\neq \varnothing $.
Bukti:
Ambil sembarang $\varepsilon > 0$
$V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )=\left ( 2-\varepsilon ,2+\varepsilon \right )$
$V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S=\left ( 2-\varepsilon ,2+\varepsilon \right )\cap \left ( -\infty ,2 \right )=\left ( 2-\varepsilon ,2 \right )$
$V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S-\left \{ 2 \right \}=\left ( 2-\varepsilon ,2 \right )-\left \{ 2 \right \}\neq \varnothing $ alasannya $\left ( \exists t\in \left ( 2-\varepsilon ,2 \right ),t=2-\frac{1}{2}\varepsilon \right )$ tetapi $t\neq 2$
$\therefore \left ( \forall \varepsilon > 0 \right )\left [ \left ( V_{\varepsilon }\left ( 2 \right )\cap S \right )-\left \{ 2 \right \} \right ]\neq \varnothing $
$\therefore 2\text{ Clp S}$
Barangkali Anda juga mencari bahan berikut:
Buat lebih berguna, kongsi:
