Matematika Dasar: Kuantor Dan Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

Penarikan Kesimpulan Logika Matematika - Pada peluang ini saya akan menyediakan klarifikasi materi matematika perihal kuantor dan penarikan kesimpulan (modus ponen, modus tolens, transitif dan silogisme). Bila teman-teman ingin mengenali ihwal kata hubung kalimat logika matematika menyerupai negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional (implikasi), dan bikondisional (biimplikasi) silahkan baca postingan saya sebelumnya perihal Logika Matematika.

KUANTOR

Fungsi Pernyataan

Defenisi:

Suatu fungsi pernyataan yakni sebuah kalimat terbuka di dalam semesta obrolan (semesta obrolan diberikan secara eksplisit atau implisit)

Fungsi pernyataan ialah sebuah kalimat terbuka yang ditulis selaku p(x) yang bersifat bahwa p(x) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap x (x yakni anggota dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(x) sebuah pernyataan.

Contoh:

• Jika p(x) = 1 + x > 5
  p(x) akan ialah fungsi pernyataan pada A = himpunan bilangan asli. Karena demikian maka p(x) bernilai benar untuk x = 5, 6, 7, . . .
• Jika q(x) = x + 3 < 1 didefinisikan pada A = himpunan bilangan asli, tidak ada x yang memunculkan q(x) bernilai benar.

Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Simbol $\forall$ yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor umum

Jika p(x) yakni fungsi proposisi pada sebuah himpunan A (himpunan A yakni semesta pembicaraannya) maka:

$\forall$x $\in$ A, p(x) dibaca untuk semua x unsur A berlakulah p(x)

$\forall$x, p(x) atau $\forall$x p(x) dibaca untuk semua x berlakulah p(x)

Contoh:

• p(x) = x tidak kekal
  p(manusia) = insan tidak kekal
  maka $\forall$x, p(x) = $\forall$x $\in$ {manusia}, p(x) = semua insan tidak abadi (Benar)
  Perhatikan bahwa p(x) ialah kalimat terbuka (tidak memiliki nilai kebenaran). Tetapi $\forall$x p(x) ialah pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah namun tidak kedua-duanya).
• p(x) = Semua mahasiswa IKIP Gunungsitoli pintar (Benar)
  berarti: semua (tanpa terkecuali) mahasiswa IKIP Gunungsitoli pandai

Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Simbol $\exists$ dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus

Jika p(x) yakni fungsi pernyataan pada himpunan tertentu yakni A (himpunan A yakni semesta pembicaraan) maka:

$\exists$x $\in$ A, p(x) dibaca ada x unsur A, sedemikian sampai p(x)

$\exists$x! p(x) atau $\exists$x, p(x) atau $\exists$x p(x) dibaca untuk beberapa x, p(x)

Simbol $\exists$! untuk menyatakan “Ada cuma satu”.

Contoh:

• p(x) = x yakni wanita
  p(perwira ABRI) = perwira ABRI yakni wanita
  $\exists$x p(x) = $\exists$x! p(x) = $\exists$x $\in$ {perwira ABRI}, p(x) = ada perwira ABRI yakni perempuan (Benar)
• Misalkan:
  A= Himpunan semua mahasiswa IKIP Gunungsitoli
  B= Beberapa mahasiswa IKIP Gunungsitoli pandai
  berarti: ada mahasiswa IKIP Gunungsitoli yang pintar atau sekurang-kurangya ada seorang Mahasiswa IKIP Gunungsitoli yang pandai.

Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor

Negasi dari:

Semua insan tidak abadi = Tidak benar bahwa semua insan tidak kekal

Atau:

Semua insan tidak abadi = Beberapa insan kekal

Jika p(x) yakni insan tidak abadi atau x tidak kekal, maka “semua insan yakni tidak kekal” atau $\forall$x, p(x) bernilai benar, dan “beberapa insan kekal” atau $\exists$x, p(x) bernilai salah.

Pernyataan di atas sanggup dituliskan dengan simbol:

[$\forall$x p(x)] ≡ $\exists$x p(x)

Jadi negasi dari sebuah pernyataan yang mengandung kuantor universal yakni ekivalen dengan pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial (fungsi pernyataan yang dinegasikan) dan sebaliknya :

[$\exists$x p(x)] ≡ $\forall$x p(x)

Contoh:

p : Semua mahasiswa bersungguh-sungguh belajar

p : Ada mahasiswa yang tidak bersungguh-sungguh belajar

q : Ada mahasiswa yang rumahnya di Lahewa

q : Semua mahasiswa rumahnya bukan di Lahewa

r : Jika semua mahasiswa bersungguh-sungguh berguru maka lulus cobaan

r : Semua mahasiswa bersungguh-sungguh berguru dan tidak lulus cobaan

r : Semua mahasiswa bersungguh-sungguh berguru namun tidak lulus cobaan

PENARIKAN KESIMPULAN (VALIDITAS PEMBUKTIAN)

Premis dan Argumen

Premis yakni pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menawan sebuah kesimpulan.

Suatu premis sanggup berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang telah dibuktikan sebelumnya.

Sedangkan argumen yakni kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan sebuah (satu) konklusi.

Secara sederhana sanggup dibilang bahwa sebuah argumen dibilang sah/valid jikalau premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar.

Penarikan Kesimpulan atau Validitas Pembuktian

Dalam penarikan kesimpulan lazimnya memakai prinsip logika dimana pernyataan disebut premis serta penarikan kesimpulan disebut argumentasi. Prinsip logika bila premis-premisnya benar maka konklusinya sah atau valid. Sebaliknya jikalau premis-premisnya salah maka konklusinya tidak sah atau tidak valid.

Berikut yakni Validitas pembuktian yang sah:

Modus Ponen

Dalam bentuk implikasi pernyataan penarikan kesimpulan dengan modus ponen ditulis:

{(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q

dibaca “implikasi dikonjungsikan dengan p berimplikasi (menghasilkan) kesimpulan atau konklusi q. Uraian modus ponen sanggup ditulis:

Uraian di atas sanggup juga dibaca: Apabila dikenali jikalau p maka q benar, dan p benar, ditarik kesimpulan q benar. (Notasi: Ada yang memakai tanda $\therefore$ untuk menyatakan konklusi, menyerupai p ⇒ q, p$\therefore$q)

Tabel kebenarannya adalah:

p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ∧ p	{(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Ingat!!!

Proposisi-proposisi yang nilainya senantiasa benar disebut Tautologi

Proposisi-proposisi yang nilainya senantiasa salah disebut Kontradiksi

Contoh:

1. Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus cobaan (benar)
   Premis 2 : Saya berguru (benar)
   $\therefore$ : Saya lulus cobaan (benar)
   
   
   Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menampilkan validitas dari bentuk argumen modus ponen.


2. Premis 1 : Jika x = 7, maka x² = 49
   Premis 2 : x = 7
   $\therefore$ : x² = 49

Modus Tolens

Penarikan kesimpulan dengan modus tolens dilaksanakan dengan simbol matematika:

{(p ⇒ q) ∧ q} ⇒ p

dibaca “implikasi dikonjungsikan kepada negasi q berimplikasi (menghasilkan) kesimpulan atau konklusi negasi p. Uraian modus tolens sanggup ditulis:

Tabel kebenarannya adalah:

p	q	p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ∧ q	{(p ⇒ q) ∧ q} ⇒ p
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

Jika premis 2 diubah menjadi p maka konklusinya tidak valid q. Berikut tabel kebenarannya:

p	q	p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ∧ p	{(p ⇒ q) ∧ p} ⇒ q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	B	S
S	S	B	B	B	B	B

Contoh:

1. Premis 1 : Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (benar)
   Premis 2 : Saya tidak memakai jas hujan (benar)
   $\therefore$ : Hari tidak hujan (benar)
   
   
   Perhatikan bahwa jikalau p terjadi maka q terjadi, sehingga jikalau q tidak terjadi maka p tidak terjadi.


2. Premis 1 : Jika ada gula maka ada semut
   Premis 2 : Tidak ada semut
   $\therefore$ : Tidak ada gula

Transitif

Penarikan kesimpulan dengan transitif dilaksanakan menurut implikasi-implikasi berturut-turut. Secara simbolik logika penarikan kesimpulan dengan transitif dituliskan dengan lambang:

{(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)} ⇒ (p ⇒ r)

Uraian transitif sanggup ditulis:

Tabel kebenarannya adalah:

p	q	r	p ⇒ q	q ⇒ r	p ⇒ r	(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)	{(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)} ⇒ (p ⇒ r)
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S	B
B	S	B	S	B	B	S	B
B	S	S	S	B	S	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B	B	B

Contoh:

1. Premis 1 : Jika kau benar maka saya bersalah (benar)
   Premis 2 : Jika saya bersalah maka saya minta maaf (benar)
   $\therefore$ : Jika kau benar maka saya minta maaf (benar)


2. Premis 1 : Jika hari ini hujan maka jalanan lembap (benar)
   Premis 2 : Jika jalanan lembap maka saya tidak berangkat kuliah(benar)
   $\therefore$ : Jika hari ini hujan maka saya tidak berangkat kuliah (benar)

Silogisme

Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q sanggup sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid.

Tetapi jikalau ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka silogisme disjungtif di atas yakni valid.

Tabel kebenarannya adalah:

p	q	p	q	p ∨ q	(p ∨ q) ∧ p	(p ∨ q) ∧ q	{(p ∨ q) ∧ p} ⇒ q	{(p ∨ q) ∧ q} ⇒ p
B	B	S	S	B	S	S	B	B
B	S	S	B	B	S	B	B	B
S	B	B	S	B	B	S	B	B
S	S	B	B	S	S	S	B	B

Contoh:

1. Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau menjemukan (B)
   Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (B)
   $\therefore$ : Pengalaman ini menjemukan (B)


2. Premis 1 : Air ini panas atau hambar (B)
   Premis 2 : Air ini panas (B)
   $\therefore$ : Air ini tidak hambar (B)


3. Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu
   Premis 2 : Obyek ini berwarna merah
   $\therefore$ : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)

Konjungsi

Artinya: p benar, q benar. Maka p ∧ q benar.

Dilema Konstruktif dan Destruktif

Dua bentuk argumen valid lainnya yakni dilema konstruktif dan dilema destruktif.

Dilema Konstruktif

Dilema konstruktif ini ialah variasi dua argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen).

Contoh:

Premis 1 : Jika hari hujan, saya akan tinggal di rumah; namun jikalau pacar datang, saya pergi berbelanja

Premis 2 : Hari ini hujan atau pacar datang

$\therefore$ : Aku akan tinggal di rumah atau pergi berbelanja

Dilema Destruktif

Dilema destruktif ini ialah variasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolens).

Contoh:

Premis 1 : Jika saya menyediakan pengakuan, saya akan digantung; dan jikalau saya tutup mulut, saya akan ditembak mati

Premis 2 : Aku tidak akan digantung atau ditembak mati

$\therefore$ : Aku tidak akan menyediakan pengakuan, atau tidak akan tutup mulut

CONTOH PENARIKAN KESIMPULAN LOGIKA MATEMATIKA

Agar lebih ahli berikut saya suguhkan contoh-contoh penarikan kesimpulan logika matematika:

1. Premis 1 : Jika semua pejabat tidak korupsi maka rakyat hidup sejahtera
   Premis 2 : Rakyat hidup sengsara
   
   
   Penjelasan:
   p = semua pejabat tidak korupsi
   q = rakyat hidup sejahtera
   q = rakyat hidup sengsara
   
   
   $\therefore$ : Semua pejabat korupsi (Modus Tolens)


2. Premis 1 : Tidak ada politikus yang suka berbohong
   Premis 2 : Orang yang tidak senang berbohong yakni orang bijak
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   Tidak ada politikus yang suka berbohong ≡ Semua politikus tidak senang berbohong
   p = semua politikus
   q = tidak senang berbohong
   
   
   Untuk premis 2:
   q = tidak senang berbohong
   r = yakni orang bijak
   
   
   $\therefore$ : Semua politikus yakni orang bijak (Transitif)


3. Premis 1 : Setiap rumah memiliki lampu
   Premis 2 : Setiap rumah memiliki televisi
   
   
   Penjelasan:
   p = setiap rumah memiliki lampu
   q = setiap rumah memiliki televisi
   
   
   $\therefore$ : Setiap rumah memiliki lampu dan televisi (Konjungsi)


4. Premis 1 : Berbelanja tanpa penyusunan rencana memunculkan pemborosan
   Premis 2 : Resti senantiasa membeli tanpa perencanaan
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = membeli tanpa perencanaan
   q = memunculkan pemborosan
   
   
   Untuk premis 2:
   p = Resti membeli tanpa perencanaan
   
   
   $\therefore$ : Resti senantiasa melakukan pemborosan (Modus Ponen)


5. Premis 1 : Jika Ayah di kantor dan Andri di sekolah, maka Ibu di rumah
   Premis 2 : Ibu tidak dirumah
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = Ayah di kantor
   q = Andri di sekolah
   r = Ibu di rumah
   
   
   Dari premis 1 di atas, simbol matematikanya yakni {(p ∧ q) ⇒ r}
   
   
   Untuk premis 2:
   r = Ibu tidak di rumah
   
   
   Dari premis 1 dan 2 di atas, simbol matematikanya yakni {(p ∧ q) ⇒ r} ⇒ r
   
   
   Kesimpulan:
   (p ∧ q) ≡ p ∨ q
   
   
   $\therefore$ : Ayah tidak di kantor atau Andri tidak di sekolah (Modus Tolens)


6. Premis 1 : Jika Fadli Kuliah atau menikah maka Ayah menghadiahkannya uang
   Premis 2 : Ayah tidak menghadiahkannya uang
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = Fadli Kuliah
   q = Fadli menikah
   r = Ayah menghadiahkannya uang
   
   
   Dari premis 1 di atas, simbol matematikanya yakni {(p ∨ q) ⇒ r}
   
   
   Untuk premis 2:
   r = Ayah tidak menghadiahkannya uang
   
   
   Dari premis 1 dan 2 di atas, simbol matematikanya yakni {(p ∨ q) ⇒ r} ⇒ r
   
   
   Kesimpulan:
   (p ∨ q) ≡ p ∧ q
   
   
   $\therefore$ : Fadli tidak kuliah dan tidak menikah (Modus Tolens)


7. Premis 1 : Jika saya ganteng maka pacar saya banyak
   Premis 2 : Jika pacar saya banyak maka saya yakni playboy
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = jikalau saya ganteng
   q = pacar saya banyak
   
   
   Untuk premis 2:
   q = pacar saya banyak
   r = saya yakni playboy
   
   
   $\therefore$ : Jika saya ganteng maka saya yakni playboy (Transitif)


8. Premis 1 : Jika pacar saya bagus maka saya mencintainya
   Premis 2 : Jika saya menyayangi pacar saya maka saya menikahinya
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = jikalau pacar saya cantik
   q = saya mencintainya
   
   
   Untuk premis 2:
   q = saya menyayangi pacar saya
   r = saya menikahinya
   
   
   $\therefore$ : Jika pacar saya bagus maka saya menikahinya (Transitif)


9. Premis 1 : Jika istri saya bagus atau menawan maka anak saya ganteng
   Premis 2 : Anak saya tidak ganteng
   
   
   Penjelasan:
   Untuk premis 1:
   p = istri saya cantik
   q = istri saya menawan
   r = anak saya ganteng
   
   
   Dari premis 1 di atas, simbol matematikanya yakni {(p ∨ q) ⇒ r}
   
   
   Untuk premis 2:
   r = Anak saya tidak ganteng
   
   
   Dari premis 1 dan 2 di atas, simbol matematikanya yakni {(p ∨ q) ⇒ r} ⇒ r
   
   
   Kesimpulan:
   (p ∨ q) ≡ p ∧ q
   
   
   $\therefore$ : Istri saya tidak bagus dan tidak menawan (Modus Tolens)


10. Premis 1 : Jika beberapa gergaji atau semua kapak diasah, maka pohon besar itu sanggup ditebang
    Premis 2 : Pohon besar itu tidak sanggup ditebang
    
    
    Penjelasan:
    Untuk premis 1:
    p = beberapa gergaji
    q = semua kapak diasah
    r = pohon besar itu sanggup ditebang
    
    
    Dari premis 1 di atas, simbol matematikanya yakni {(p ∨ q) ⇒ r}
    
    
    Untuk premis 2:
    r = Pohon besar itu tidak sanggup ditebang
    
    
    Dari premis 1 dan 2 di atas, simbol matematikanya yakni [{(p ∨ q) ⇒ r} ∧ r] ⇒ (p ∨ q)
    
    
    Kesimpulan:
    (p ∨ q) ≡ p ∧ q
    
    
    $\therefore$ : Semua gergaji dan beberapa kapak tidak diasah (Modus Tolens)
    
    
    Bila masih kurang terang ihwal pengambilan kesimpulan ini, silahkan pelajari kembali perihal Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor.

Demikianlah klarifikasi bahan matematika perihal kuantor dan penarikan kesimpulan (modus ponen, modus tolens, transitif dan silogisme), supaya bermanfaat. Salam Ono Niha - Ya'ahowu.

Buat lebih berguna, kongsi: