Artikel ini membahas salah satu bahan probabilitas dan juga statistika matematika yakni tentang distribusi binomial
Pengertian Distribusi Binomial
Dalam satistika matematika, distribusi binomial sering juga disebut distribusi Bernoulli. Distribusi binomial didapatkan oleh James Bernoulli. Distribusi binomial yakni sebuah distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang berisikan dua insiden yang berkomplemen, menyerupai sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala-ekor.
Ciri-ciri Distribusi Binomial
- Setiap percobaan cuma memiliki dua peristiwa, menyerupai ya-tidak, sukses-gagal.
- Probabilitas sebuah insiden yakni tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.
- Percobaannya bersifat independen atau dengan pengembalian, artinya insiden dari sebuah percobaan tidak menghipnotis atau dipengaruhi insiden dalam percobaan lainnya.
- Jumlah atau banyaknya percobaan yang ialah elemen percobaan binomial mesti tertentu.
Contoh:
Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan opsi berganda, setiap pertanyaan memiliki satu respon benar. Jika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut berspekulasi 5 respon benar maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah:
- Untuk menjawab benar, $P\left ( B \right )=\frac{1}{5}$
- Untuk menjawab salah, $P\left ( S \right )=\frac{4}{5}$
Misalkan susunan 5 respon benar yakni B B B B B S maka:
$P\left ( \text{B B B B B S} \right )=P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( S \right )$
$P\left ( \text{B B B B B S} \right )=\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{4}{5}$
$P\left ( \text{B B B B B S} \right )=\left ( \frac{1}{5} \right )^{5}\text{ }\left ( \frac{4}{5} \right )^{1}$
Kemungkinan lain susunan 5 respon benar yakni B B B S B B, sehingga:
$P\left ( \text{B B B S B B} \right )=P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( S \right )\text{ }P\left ( B \right )\text{ }P\left ( B \right )$
$P\left ( \text{B B B S B B} \right )=\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{4}{5}\text{ }\frac{1}{5}\text{ }\frac{1}{5}$
$P\left ( \text{B B B S B B} \right )=\left ( \frac{1}{5} \right )^{5}\text{ }\left ( \frac{4}{5} \right )^{1}$
Ternyata, probabilitas 5 respon benar dari 6 pertanyaan yakni sama untuk susunan mana pun. Banyaknya kemungkinan susunan 5 benar dan 1 salah sanggup dicari dengan menggunakan rumus kombinasi.
\[C_{x}^{n}=\frac{n!}{x!\left ( n-x \right )!}\]
Untuk kasus di atas, memiliki $n=6$, $x=5$, sehingga terdapat:
$C_{5}^{6}=\frac{6!}{5!\left ( 6-5 \right )!}$
$C_{5}^{6}=6$ susunan
Jika semua susunan tersebut dituliskan, akan terlihat:
- B B B B B S
- B B B B S B
- B B B S B B
- B B S B B B
- B S B B B B
- S B B B B B
Untuk menyeleksi probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar $\left ( P\left ( 5 \right ) \right )$ yakni dengan menjumlahkan probabilitas dari variasi banyaknya susunan respon benar, $C_{5}^{6}=6$ susunan. Karena probabilitas setiap susunan yakni sama maka probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar $\left ( P\left ( 5 \right ) \right )$ sanggup pula dijumlah dengan mengalikan $C_{5}^{6}$ dengan probabilitas salah satu susunannya.
Jadi:
$P\left ( 5 \right )=C_{5}^{6}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^{5}\times \left ( \frac{4}{5} \right )^{1}$
$P\left ( 5 \right )=0,0015$
Dengan melakukan cara yang serupa menyerupai di atas, untuk menjumlah probabilitas menjawab dengan respon benar maka sanggup dibentuk distribusi binomial, dari insiden di atas.
$P\left ( 6 \right )=C_{6}^{6}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^{6}\times \left ( \frac{4}{5} \right )^{0}$
$P\left ( 6 \right )=0,0001$
$P\left ( 4 \right )=C_{4}^{6}\times \left ( \frac{1}{5} \right )^{4}\times \left ( \frac{4}{5} \right )^{2}$
$P\left ( 4 \right )=0,0154$
Dan seterusnya . . .
Dari perkiraan di atas maka sanggup dibentuk tabel distribusi binomial dengan respon benar, yaitu:
| Jumlah Jawaban Benar (x) | P(x) |
|---|---|
| 0 | 0,2621 |
| 1 | 0,3932 |
| 2 | 0,2458 |
| 3 | 0,0819 |
| 4 | 0,0154 |
| 5 | 0,0015 |
| 6 | 0,0001 |
| Jumlah | 1,0000 |
Rumus Distribusi Binomial
a. Rumus binomial sebuah peristiwa
Secara lazim rumus probabilitas binomial sebuah insiden dituliskan:
$P\left ( X=x \right )=b\left ( x;n,p \right )=C_{x}^{n}\times p^{x}\times q^{n-x}$
Keterangan:
$x$ = banyaknya insiden sukses
$n$ = banyak percobaan
$p$ = probabilitas insiden berhasil
$q$ = $1-p$ = probabilitas insiden gagal
Catatan: Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda mesti sanggup tentukan mana insiden SUKSES dan mana insiden GAGAL. Anda sanggup tentukan bahwa insiden yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan yakni = kejadian SUKSES.
b. Contoh soal:
- Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari insiden berikut!
- Mata dadu 5 timbul 1 kali.
- Mata dadu genap timbul 2 kali.
- Mata dadu 2 atau 6 timbul sebanyak 4 kali.
Penyelesaian:- Karena dadu memiliki 6 sisi, yakni 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap segi memiliki probabilitas $\frac{1}{6}$. Jadi, probabilitas untuk mata 5 yakni $\frac{1}{6}$, sehingga:
- Mata dadu genap ada 3, yakni 2, 4, 6, sehingga:
- Muncul mata dadu 2 atau 6 $\left ( \text{ada 2} \right )$, sehingga:
$p=\frac{1}{6}$; $q=\frac{5}{6}$, $n=4$, $x=1$ [muncul 1 kali]$P\left ( X=1 \right )=C_{1}^{4}\times p^{1}\times q^{4-1}$$P\left ( X=1 \right )=4\times \left ( \frac{1}{6} \right )^{1}\times \left ( \frac{5}{6} \right )^{3}$$P\left ( X=1 \right )=0,3858$
$p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$; $q=\frac{1}{2}$, $n=4$, $x=2$ [muncul 2 kali]$P\left ( X=2 \right )=C_{2}^{4}\times p^{2}\times q^{4-2}$$P\left ( X=2 \right )=6\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\times \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$$P\left ( X=2 \right )=0,3750$
$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$; $q=\frac{2}{3}$, $n=4$, $x=4$ [muncul 4 kali]$P\left ( X=4 \right )=C_{4}^{4}\times p^{4}\times q^{4-4}$$P\left ( X=4 \right )=1\times \left ( \frac{1}{3} \right )^{4}\times \left ( \frac{2}{3} \right )^{0}$$P\left ( X=4 \right )=0,0123$ - Sebuah mesin yang memproduksi semacam alat, ternyata terdapat 5% rusak. Jika secara acak diambil 10 buah dari alat tersebut untuk diselidiki, berapa probabilitas akan terdapat:
- dua rusak,
- tidak ada yang rusak?
Penyelesaian:$n=10$; $p=5%=0,05$; $q=0,95$- Dua rusak, $x=2$
- Tidak ada yang rusak, $x=0$
$P\left ( X=2 \right )=C_{2}^{10}\times p^{2}\times q^{10-2}$$P\left ( X=2 \right )=45\times \left ( 0,05 \right )^{2}\times \left ( 0,95 \right )^{8}$$P\left ( X=2 \right )=0,075$
$P\left ( X=0 \right )=C_{0}^{10}\times p^{0}\times q^{10-0}$$P\left ( X=0 \right )=1\times \left ( 0,05 \right )^{0}\times \left ( 0,95 \right )^{10}$$P\left ( X=0 \right )=0,599$
Demikian saja bahan wacana Distribusi Binomial, agar bermanfaat. Jika teman-teman memerlukan file .pdf-nya silahkan download lewat link berikut:
Distribusi Binomial from
Buat lebih berguna, kongsi:
