Deret geometri $U_{1}+U_{2}+U_{3}+...+U_{n}$ disebut deret geometri tak berhingga kalau $n$ mendekati tak berhingga. Dengan kata lain, deret geometri disebut deret geometri tak berhingga kalau banyaknya suku deret geometri tersebut bertambah terus mendekati tak berhingga.
Perhatikan deret geometri berikut:
$5+\frac{5}{2}+\frac{5}{4}+...+5\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}$
Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah:
$S_{n}=\frac{5\left ( 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n} \right )}{1-\frac{1}{2}}$
$S_{n}=10-10\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$
Jika nilai n diambil makin besar, maka nilai $\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$ makin kecil dan akan mendekati 0 sehingga sanggup dibilang $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}=0$.
Hal ini juga berlaku bagi deret geometri dalam bentuk umum:
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...$
$\lim_{n\rightarrow \infty }r^{n}=0$, apabila $-1< r< 1$, $r\neq 0$
Jadi, kalau akan dijumlah jumlah deret tak sampai $a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...$ sama artinya dengan mencari $\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n}$
Jumlah deret geometri tak sampai diputuskan dengan:
1. Jika $-1< r< 1$ dan $r\neq 0$ maka:
$\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n}=\frac{a}{1-r}$
Deret geometri tak berhingga menyerupai ini dibilang konvergen.
Contoh:
$16 + 8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...$
Nilai rasio $r =\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$
Nilai rasio deret terletak antara -1 dan 1
Contoh:
Hitunglah $5 + \frac{5}{2}+\frac{5}{4}+...$
Jawab:
a = 5, r = 1/2
$\lim_{n\rightarrow \infty }S_{n}=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=10$
Jadi, $5 + \frac{5}{2}+\frac{5}{4}+...=10$
2. Jika $r < -1$ atau $r > 1$ maka $S_{n}=\pm \infty $.
Deret geometri tak berhingga menyerupai ini dibilang divergen.
Contoh:
$\frac{1}{3}+ 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + . . .$
Nilai rasio $r =\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$
Nilai rasio deret $r = 3 > 1$
Contoh Soal dan Penyelesaian Deret Geometri Tak Hingga
Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 meter dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{5}$ dari tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berjalan terus menerus. Tentukanlah:
a. Panjang lintasan bola sampai lima kali menjamah tanah.
b. Panjang lintasan bola seluruhnya.
Jawaban
a. Panjang lintasan bola sampai lima kali menjamah tanah.
$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$
$S_{n}=\frac{2,5\left ( 1-\left ( \frac{3}{5} \right )^{5} \right )}{1-\frac{3}{5}}$
$S_{n}=\frac{2,5\left ( 1-\frac{243}{3.125} \right )}{\frac{2}{5}}$
$S_{n}=2,5\left ( \frac{2.882}{3.125} \right )\times \frac{5}{2}$
$S_{n}=\frac{7.205}{3.125}\times \frac{5}{2}=5,76$
b. Panjang lintasan bola seluruhnya.
$S_{n}=\frac{B+A}{B-A}\times H_{0}$
$S_{n}=\frac{5+3}{5-3}\times 2,5$
$S_{n}=\frac{8}{2}\times 2,5=10$
Misalkan dipahami deret geometri tak berhingga $a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...$ maka jumlah suku-suku ganjil yakni $a+ar^{2}+ar^{4}+...$ yang ialah sebuah deret geometri tak berhingga dengan $U_{1}=a$ dan rasio $r^{2}$, sehingga diperoleh rumus:
$S_{ganjil}=\frac{a}{1-r^{2}}$
Sedangkan jumlah suku-suku genapnya yakni $a+ar^{3}+ar^{5}+...$ yang ialah sebuah deret geometri tak berhingga dengan $U_{1}=a$ dan rasio $r^{2}$, sehingga diperoleh rumus:
$S_{genap}=\frac{ar}{1-r^{2}}$
Demikian dan agar bermanfaat. Salam Ono Niha - Ya'ahowu.
Buat lebih berguna, kongsi:
