Secara sederhana, Barisan Cauchy yakni sebuah barisan yang makin usang jarak antara suku-sukunya makin kecil. Secara formal didefinisikan selaku berikut:
Barisan $\left ( a_{n} : n \in N \right )$ dari bilangan-bilangan real disebut Barisan Cauchy bila dan cuma bila untuk tiap $\varepsilon > 0$ ada bilangan orisinil $n_{0}$ sedemikian sampai untuk $n, m > n_{0}$, maka $\left | a_{n} - a_{m} \right |< \varepsilon$.
Jadi, sebuah barisan dibilang Barisan Cauchy jikalau sesudah suku ke-$n_{0}$ maka jarak suku yang satu dengan yang yang lain akan senantiasa kurang dari $\varepsilon$.
Contoh 1
Misal $\left ( a_{n} : n \in N \right )$ yakni Barisan Cauchy dari bilangan-bilangan bulat, yakni tiap-tiap elemen dari barisan tersebut tergolong set $B=\left \{ ..., -1, 0, 1,... \right \} $.
Maka barisan tersebut haruslah berbentuk:
$\left ( a_{1}, a_{2}, ...,a_{n_{0}}, b, b, b,... \right )$
Yaitu sebuah barisan konstan sesudah elemen yang ke $n_{0}$ misal bila kita pilih $\varepsilon =\frac{1}{2}$ maka, bila $a_{n},a_{m}\in B$ dan $\left | a_{n} - a_{m} \right |< \frac{1}{2}$ maka $a_{n} = a_{m}$.
Sifat-sifat Barisan Cauchy:
- Setiap barisan Cauchy terbatas
- Suatu barisan bilangan real yakni konvergen bila cuma bila dia Barisan Cauchy
Contoh 2
Kita tunjukkan bahwa setiap barisan konvergen yakni Barisan Cauchy.
Bila $a_{n} \Rightarrow b$ dan $\varepsilon > 0$ maka $n_{0}\in N$ yang cukup besar sedemikian hingga:
- Bila $n> n_{0}$, $\left | a_{n} - b \right |< \frac{1}{2}\varepsilon $, dan
- Bila $m> n_{0}$, $\left | a_{m} - b \right |< \frac{1}{2}\varepsilon $.
Akibat $n, m > n_{0}$ maka:
$\left | a_{n}-a_{m} \right |=\left | a_{n}-b+b-a_{m} \right |\leq \left | a_{n}-b \right |+\left | b-a_{m} \right |< \frac{1}{2}\varepsilon +\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon $
Jadi barisan $\left ( a_{n} \right )$ yakni Barisan Cauchy.
Contoh 3
Kita tunjukkan $\frac{1}{n}$ yakni Barisan Cauchy. Diberikan $\varepsilon > 0$ sebarang. Selalu ada bilangan orisinil $n_{0}$ sehingga $n_{0}> \frac{2}{\varepsilon }$. Makara untuk setiap $m, n > n_{0}$ berlaku $\frac{1}{m}< \frac{\varepsilon }{2}$ dan $\frac{1}{n}< \frac{\varepsilon }{2}$.
Jadi:
$\left | a_{n}-a_{m} \right |=\left | \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right |\leq \left | \frac{1}{n}+\frac{1}{m} \right |< \frac{1}{2}\varepsilon +\frac{1}{2}\varepsilon=\varepsilon$
Diberikan barisan $X=\left ( 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...,\frac{1}{n},... \right )$
Atau dapat ditulis $X=\left ( 1;0,5;0,33;0,25;...,\frac{1}{n},... \right )$
Misalkan ambil $\varepsilon =\frac{1}{2};n_{0}=2=0,5;n=3=0,33;m=4=0,25$.
Demikian tentang bahan barisan cauchy. Barangkali teman dekat juga sedang mencari bahan berikut:
Buat lebih berguna, kongsi:
