Materi Dan Teladan Soal Matematika : Defenisi, Sifat-Sifat Dan Cara Solusi Limit Fungsi

Salam Para Bintang

Kali ini kita akan membahas bahan mengenai bahan dasar untuk menyiapkan diri di cobaan UTBK, Ujian Sekolah, Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri lainnya. Materi ini yakni sungguh timbul dalam banyak sekali soal-soal cobaan yang diadakan apalgi mau masuk PTN. Jadi, sebelum kalian memnyelesaikan soal-soal limit fungsi, maka pasti saja ketahui dahulu materinya ya. Oke ! Sekarang kita mulai dari Defenisi limit....

A. Defenisi Limit Fungsi

Misalkan f suatu fungsi $f:R\rightarrow R$ dan misalkan L dan c anggota himpunan bilangan real.

$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ jika dan cuma kalau f(x) mendekati L untuk semua x mendekati c.

Limit fungsi f(x) dinyatakan dalam bentuk:

$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$

Keterangan:

Apabila x mendekati a tapi x tidak sama dengan c maka f(x) mendekati L
Pendekatan x ke c sanggup dilihat dari dua segi yakni pada segi kiri dan segi kanan ataupun dengan kata lain x sanggup mendekati dari arah kiri dan arah kanan sampai menciptakan limit kiri serta limit kanan

Dalam menenrukan nilai fungsi sungguh perlu kalian ketahui sifat-sifat limit fungsi. Sifat-sifat limit fungsi adaah teorema -teorema yang digunakan dalam menyelesaiakan limit suatu fungsi. Berikut daat kalin ketahui sifat-sifat limit fungsi :

B. Sifat Fungsi Limit Aljabar

Jika n adalah bilangan bundar positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat yang berlaku yaitu:

C. Cara Penyelesaian Limit Fungsi

Dalam menyeleksi nilai limit fungsi fungsi sanggup teratasi dengan metode, cara berikut:

a. Cara subsitusi (mengganti nilai x ke fungsi)

Cara subsitusi cuma mengubah peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya

Contoh 1:

Nilai $\lim_{x\rightarrow 2}(2x+3)=....$

Pembahasan:

$\lim_{x\rightarrow 2}(2x+3)=....$

Dengan melakukan subsitusi nilai x = -3, maka diperoleh:

$\lim_{x\rightarrow 2}(2x+3)=2.2+3$

$\lim_{x\rightarrow 2}(2x+3)=7$

Contoh 2:

Nilai $\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2x+1}{4x-2}=.....$

Pembahasan:

$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2x+1}{4x-2}=.....$

Dengan melakukan subsitusi nilai x = -3, maka diperoleh:

$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2x+1}{4x-2}=\frac{2(-3)+1}{4(-3)-2}$

$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2x+1}{4x-2}=\frac{-6+1}{-12+1}$

$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2x+1}{4x-2}=\frac{-5}{-11}$

$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{2x+1}{4x-2}=\frac{5}{11}$

b. Cara pemfaktoran

Cara pemfaktoran ini digunakan kalau cara subsitusi yang menciptakan nilai limit tidak tentu.Cara pemfaktoran dijalankan dengan menyeleksi aspek komplotan antara pembilang dan penyebutnya.

Contoh 3:

Nilai $\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-1}=.....$

Pembahasan:

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-1}=.....$

Dengan menggunakan mensubsiusi nilai x = -1 , diperoleh hasil limit yakni 0/0 yang merupakan bentuk tan tentu. Sehingga digunakan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut.

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-1}=\frac{(x-5)(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-1}=\frac{(x-5)}{(x-1)}$

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-1}=\frac{-1-5}{-1-1}$

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-1}=\frac{-6}{-2}$

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x^{2}-1}=3$

Contoh 4:

Nilai dari $\lim_{x\rightarrow -1}\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^{2}-4}=....$

Pembahasan:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^{2}-4}=.....$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^{2}-4}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2(x+2)-8}{x^{2}-4}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^{2}-4}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x-4}{x^{2}-4}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^{2}-4}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^{2}-4}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{(x+2)}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^{2}-4}=\frac{2}{2+2}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^{2}-4}=\frac{1}{2}$

c. Membagi dengan Pangkat Tertinggi

Cara solusi limit fungsi dengan membagi pangkat tertinggi yakni khusus untuk limit di ketakhinggaan atau limit tak hingga. Caranya yakni dengan menyeleksi pangkat tertinggi yang kemungkinan terletak pada pembilang atau penyebut. Cara ini digunakan apabila nilai limit yang diperoleh pada ketika mensubsitusi nilai x yaitu tak tentu.

Dengan mengingat bahwa:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^{n}}=0$

Contoh 5:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^{5}-3x^{4}-3x^{3}+2x-10}{4x^{5}+2x^{2}+10}=.....$

Pembahasan:

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x^{5}-3x^{4}-3x^{3}+2x-10}{4x^{5}+2x^{2}+10}=.....$

Materi LImit Tak Hingga

Cara solusi limit fungsi dengan mengalikan sekawan umumnya sungguh banyak timbul untuk bentuk soal bentuk akar. Cara ini digunakan apabila nilai limit yang diperoleh pada ketika mensubsitusi nilai x yaitu tak tentu.

Contoh 6:

Nilai $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=......$

Pembahasan:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=......$

Dengan mensubsitusi nilai x = 2 , maka diperoleh hasil limit yakni bentuk tak pasti sehingga mesti dikalikan sekawan mudah-mudahan didapatkan aspek pembuat nolnya,seperti berikut:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}\, x\, \frac{2+\sqrt{6x-8}}{2+\sqrt{6x-8}}$ $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)\left ( 2+\sqrt{6x-8} \right )}{4-(6x-8)}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)\left ( 2+\sqrt{6x-8} \right )}{-6x+12}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)\left ( 2+\sqrt{6x-8} \right )}{-6(x-2)}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left ( 2+\sqrt{6x-8} \right )}{-6}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=\frac{ 2+\sqrt{6.2-8} }{-6}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=\frac{ 2+\sqrt{4} }{-6}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=\frac{4}{-6}$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{2-\sqrt{6x-8}}=-\frac{2}{3}$

Contoh 7:

Nilai dari $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{\sqrt{x-2}}=.....$

Pembahasan:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{\sqrt{x-2}}=.....$

Dengan mensubsitusi nilai x = 2 , maka diperoleh hasil limit yakni bentuk tak pasti sehingga mesti dikalikan sekawan mudah-mudahan didapatkan aspek pembuat nolnya,seperti berikut:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{\sqrt{x-2}}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{\sqrt{x-2}}.\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}}$