Materi Asimtot Datar Dan Asimtot Tegak + Teladan Soal ( Soal Masuk Ptn)

Materi, Soal dan Pembahasan Super Lengkap Limit Tak Hingga (Soal UTBK SBMPTN, SIMAK UI,UM UGM dan UNDIP)

Pengertian Asimtot

Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati oleh yang didekati oleh suatu kurva baik secara tegak (asimtot tegak) atau secara mendatar (asimtot datar) atau mendekati miring (asimtot miring). Garis yang kita namakan asimtot akan senantiasa didekati oleh kurva tetapi tidak pernah bersinggungan atau tidak akan pernah berpotongan antara garis dan kurva tersebut di titik jauh tak terhingga (Jaraknya kian usang mendekati nol).

A. Asimtot Datar

Jika jarak suatu kurva kepada suatu garis datar mendekati nol,maka garis tersebut yakni asimtot datar dari kurva.

Garis y = L disebut asimtot mendatar dari grafik fungsi y = f(x) kalau memenuhi:

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\, \, f(x)=L\, \, \, atau\lim_{x\rightarrow -\infty }\, \, f(x)=L$

dengan :

$L\neq +\infty \, \, \, atau\, L\neq -\infty$

B. Asimtot Tegak

Jika jarak suatu kurva kepada suatu garis vertikal mendekati nol maka garis tegak tersebut yakni asimtot tegak dari kurva.

Garis x = a disebut asimtot tegak dari fungsi y = f(x) kalau menyanggupi :

$\lim_{x\rightarrow a }\, \, f(x)=+\infty \, \, \, atau\lim_{x\rightarrow a }\, \, f(x)=-\infty$

dengan:

$a\neq +\infty \, \, \, atau\, a\neq -\infty$

Untuk fungsi rasional yang berbentuk

$\frac{f(x)}{g(x)}$ ,

garis x = a yakni asimtot tegak dari grafik fungsi tersebut kalau :

$g(a)=0\, \, dan\, \, f(a)\neq 0$

Untuk mengerti bahan asimtot ini, dan penggunaan rancangan di atas mari kita diskusikan pola soal berikut :

Contoh 1:

Tentukan asimtot datar dan tegak dari fungsi $f(x)=\frac{x+3}{x+2}$

Pembahasan:

a. Asimtot Mendatar

Untuk menyeleksi asimtot mendatar perlu dimengerti rancangan :

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\, \, f(x)=L\, \, \, atau\lim_{x\rightarrow -\infty }\, \, f(x)=L$

Untuk nilai x mendekati $+\infty$ , maka :

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x+3}{x+2}=\frac{1}{1}=1$

Untuk nilai x mendekati $-\infty$ , maka :

$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x+3}{x+2}=\frac{1}{1}=1$

Sehingga asimtot mendatar $f(x)=\frac{x+3}{x+2}$ adalah y = 1

b. Asimtot Tegak

Untuk menyeleksi asimtot tegak perlu dimengerti rancangan :

Garis x = a disebut asimtot tegak dari fungsi y = f(x) kalau menyanggupi :

Limit di Ketakhinggaan Fungsi Khusus Euler Beserta Contoh Soal

Contoh 3:

Tentukan asimtot datar dan tegak dari fungsi $f(x)=\frac{x^{3}+1}{x-1}$

Pembahasan:

a. Asimtot Mendatar
Untuk menyeleksi asimtot mendatar perlu dimengerti rancangan :

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\, \, f(x)=L\, \, \, atau\lim_{x\rightarrow -\infty }\, \, f(x)=L$

Untuk nilai x mendekati $+\infty$ , maka :
$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{3}+1}{x-1}=+\infty$

Fungsi $f(x)=\frac{x^{3}+1}{x-1}$ tak punya asimtot datar alasannya hasil limit adalah $+\infty$
untuk x $+\infty$

b. Asimtot Tegak
Untuk menyeleksi asimtot tegak perlu dimengerti rancangan :

Garis x = a disebut asimtot tegak dari fungsi y = f(x) kalau menyanggupi :
$\lim_{x\rightarrow a }\, \, f(x)=+\infty \, \, \, atau\lim_{x\rightarrow a }\, \, f(x)=-\infty$

Karena penyebut yakni x -1, maka karnya x = 1 sehingga persamaan asimtot tegaknya yakni x = 1 alasannya :

$\lim_{x\rightarrow 1 }\frac{x^{3}+1}{x-1}=\frac{1^{3}+1}{1-1}=\frac{2}{0}=+\infty$

Contoh 4:

Diketahui dari fungsi $f(x)=\frac{ax+5}{\sqrt{x^{2}+bx+1}}$ , dengan a > 0 dan b < 0. Jika grafik fungsi mempunyai satu asimtot tegak dan salah satunya asimtot datarnya adalah y = -3, maka a + 2b = ..............

Pembahasan:

Karena dimengerti bahwa fungsi $f(x)=\frac{ax+5}{\sqrt{x^{2}+bx+1}}$ memiliki satu asimtot tegak, memiliki arti penyebutnya cuma mempunyai satu faktor. Sehingga b haruslah nilai -2 agar $x^{2}+bx+1$ memiliki satu faktor.

$\sqrt{x^{2}+bx+1}=\sqrt{x^{2}-2x+1}=\sqrt{(x-1)^{2}}=x-1$

Karena dimengerti asimtot mendataranya y = -3 artinya hasil limitnya yakni -3

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{ax+5}{\sqrt{x^{2}+bx+1}}=a$ dan $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ax+5}{\sqrt{x^{2}+bx+1}}=-3$

maka a = -3

dan untuk:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{ax+5}{\sqrt{x^{2}+bx+1}}=-a$ dan $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ax+5}{\sqrt{x^{2}+bx+1}}=-3$

maka a = 3

Karena pada soal dibilang nila a > 0, maka nila a yang digunakan yakni a = 3.

jadi, nilai a + 2b = 3 + 2(-2) =-1

Contoh 5:

Diantara opsi berikut, kurva $y=\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x^{3}+10}$ memotong asimtot datarnya di titik x =....

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Pembahasan:

Untuk menyeleksi asimtot mendatar $y=\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x^{3}+10}$ adalah dengan:

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\, \, f(x)=L\, \, \, atau\lim_{x\rightarrow -\infty }\, \, f(x)=L$

maka:

$y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x^{3}+10}=\frac{1}{1}=1$

Dengan mensubsitusi nilai y = 1 ke $y=\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x^{3}+10}$ , maka diperoleh:

$1=\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x^{3}+10}$

$x^{3}+10=x^{3}+x^{2}+1$

$x^{2}=9$

$x=\pm \sqrt{9}$

$x=\pm 3$

Jadi, titik potongnya yakni x = 3 tau x = -3 dan opsi jawabannya yakni x = 3 (C)

Baca Juga:
Soal, Materi Limit di Tak Hingga Fungsi Trigonometri Mirip Soal UTBK SBMPTN
Pengertian, Rumus Dasar , Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri pada Matematika Minat

Buat lebih berguna, kongsi: