Nilai mutlak tergolong salah satu bab dari bahan kalkulus yang dipelajari dibangku Sekolah Menengan Atas bahkan dijenjang akademi tinggi lantaran ialah salah satu bahan dari mata kuliah Aljabar Elementer. Pada pada dasarnya bahan nilai mutlak lebih banyak digunakan untuk memecahkan masalah matematika menyerupai menyeleksi himpunan solusi dari persamaan nilai mutlak dan juga pertidaksamaan nilai mutlak.
Berikut bahan lengkap persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak beserta referensi soal.
PENGERTIAN NILAI MUTLAK
Nilai mutlak sebuah bilangan real $x$ dilambangkan dengan $\left | x \right |$ dibaca: nilai mutlak $x$, yakni nilai tak negatif dari $x$ dan –$x$. Sebagai contoh:
- $\left | 3 \right |\ =\ 3$
- $\left | -4 \right |\ =\ 4$
- $\left | \frac{1}{2} \right |\ =\ \frac{1}{2}$
- $\left | -\frac{1}{4} \right |\ =\ \frac{1}{4}$
Ditetapkan pula bahwa nilai mutlak dari 0 yakni 0 itu sendiri atau $\left | 0 \right |\ =\ 0$. Dengan demikian, untuk tiap bilangan real $x$ maka berlaku $\left | x \right | >0$.
Singkatnya, semua bilangan yang ada didalam lambang nilai mutlak senantiasa bernilai positif.
Definisi:
Untuk tiap bilangan real $x$, maka nilai mutlak $x$ diputuskan selaku berikut:
$\left | x \right |\ =\ \left\{\begin{matrix} +x,\ \text{jika}\ x\ \geq \ 0\\ -x,\ \text{jika}\ x\ < \ 0 \end{matrix}\right.$
- $\left | 10 \right |\ =\ 10$
- $\left | \text{-6} \right |\ =$ -(-6), alasannya yakni -6 < 0
$\left | \text{-6} \right |\ =$ 6 - $\left | \sqrt{\text{5}}\ -\ \text{1} \right |\ =\ \sqrt{\text{5}}\ -\ \text{1}$
- $\left | \sqrt{\text{2}}\ -\ \text{3} \right |\ =\ -\left ( \sqrt{\text{2}}\ -\ \text{3} \right )$, alasannya yakni $\left ( \sqrt{\text{2}}\ -\ \text{3} \right )$ < 0
$\left | \sqrt{\text{2}}\ -\ \text{3} \right |\ =\ 3\ -\ \sqrt{\text{2}}$ - $\left | \sqrt{\text{3}}\ -\ \sqrt{\text{2}} \right |\ =\ \sqrt{\text{3}}\ -\ \sqrt{\text{2}}$
Gimana kira-kira, apakah telah paham arti nilai mutlak?
Baik, kalau masih belum mari kita pelajari pendekatan pengertiannya lewat garis bilangan.
Nilai mutlak sanggup dibilang selaku nilai bilangan yang dijadikan selaku panjang atau jarak dari titik asal atau titik nol dalam garis bilangan.
Sebagai contoh, anggaplah titik asalnya 0 maka nilai mutlak 7 artinya letak bilangan yang jaraknya 7 baik dari arah kanan maupun arah kiri titik 0 yakni bilangan nyata 7 dan bilangan -7, amati gambar garis bilangan berikut:
Jadi, sanggup ditarik kesimpulan bahwa jarak $x$ ke bilangan -$a$ dan $a$ sanggup ditulis $\left | x\ -\ a \right |\ =\ \left | a\ -\ x \right |$
SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK
Beberapa sifat-sifat nilai mutlak sebuah bilangan, selaku berikut:
- Untuk $x\ \in \ R$, $a\ \in \ R$, dan $a > 0$, berlaku:
- (i) $\left | x \right |\ \leq \ a\ \Leftrightarrow \ -a\ \leq \ x\ \leq \ a$
- (ii) $\left | x \right |\ \geq \ a\ \Leftrightarrow \ x\ \leq \ -a$ atau $x\ \geq \ a$
- $\left | x \right |\ =\ \sqrt{x^{2}}$
- Untuk tiap $x\ \in \ R$ dan $y\ \in \ R$, maka:
- (i) $\left | x\ \times \ y \right |\ =\ \left | x \right |\ \times \ \left | y \right |$
- (ii) $\left | \frac{x}{y} \right |\ =\ \frac{\left | x \right |}{\left | y \right |}$ dengan $y\ \neq \ 0$
- (iii) $\left | x\ -\ y \right |\ \geq \ \left | \left | x \right |\ -\ \left | y \right | \right |$
- (iv) $\left | x\ +\ y \right |\ \leq \ \left | \left | x \right |\ +\ \left | y \right | \right |$
PERSAMAAN NILAI MUTLAK
Perhatikan referensi persamaan nilai mutlak berikut:
(i) $\left | x\ -\ 1 \right |\ =\ 2$
(ii) $\left | 2x\ -\ 4 \right |\ =\ 4$
(iii) $\left | 2x\ -\ 1 \right |\ =\ \left | x\ -\ 5 \right |$
(iv) $\left | x\ -\ 3 \right |^{2}\ -\ 4\left | x\ -\ 3 \right |\ =\ 3$
Pada persamaan di atas, peubah $x$ terdapat di dalam tanda nilai mutlak. Jadi, persamaan nilai mutlak yakni sebuah persamaan yang peubahnya terdapat di dalam tanda nilai mutlak.
MENYELESAIKAN PERSAMAAN NILAI MUTLAK
Agar lebih paham dalam menyeleksi solusi persamaan nilai mutlak, berikut referensi soalnya.
Contoh 1:
Tentukan himpunan solusi dari persamaan nilai mutlak berikut
(a) $\left | x\ -\ 1 \right |\ =\ 2$
(b) $\left | 2x\ -\ 4 \right |\ =\ 4$
(c) $\left | 3\ -\ 2x \right |\ =\ 5$
(d) $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ -1$
(e) $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ =\ 6$
(f) $\left | 3x\ -\ 1 \right |\ =\ 2$
(g) $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ =\ 5$
Jawab:
(a) $\left | x\ -\ 1 \right |\ =\ 2$
Berdasarkan sifat nilai mutlak ke 2: $\left | x\ -\ 1 \right |\ =\ \sqrt{\left ( x\ -\ 1 \right )^{2}}$
Sehingga menjadi $\sqrt{\left ( x\ -\ 1 \right )^{2}}\ =\ 2$
Dengan menguadratkan kedua ruas persamaan di atas, diperoleh:
$\left ( x\ -\ 1 \right )^{2}\ =\ 2^{2}\\ x^{2}\ -\ 2x\ +\ 1\ =\ 4\\ x^{2}\ -\ 2x\ -\ 3\ =\ 0\\ \left ( x\ +\ 1 \right )\left ( x\ -\ 3 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ -1$ atau $x_{2}\ =\ 3$
Jadi, solusi persamaan $\left | x\ -\ 1 \right |\ =\ 2$ yakni $x_{1}\ =\ -1$ atau $x_{2}\ =\ 3$
(b) $\left | 2x\ -\ 4 \right |\ =\ 4$
$\left ( 2x\ -\ 4 \right )^{2}\ =\ 4^{2}\\ 4x^{2}\ -\ 16x\ +\ 16\ =\ 16\\ 4x^{2}\ -\ 16x\ =\ 0\\ 4x\left ( x\ -\ 4 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ 0$ atau $x_{2}\ =\ 4$
Jadi, solusi persamaan $\left | 2x\ -\ 4 \right |\ =\ 4$ yakni $x_{1}\ =\ 0$ atau $x_{2}\ =\ 4$
(c) $\left | 3\ -\ 2x \right |\ =\ 5$
$\left ( 3\ -\ 2x \right )^{2}\ =\ 5^{2}\\ 9\ -\ 12x\ +\ 4x^{2}\ =\ 25\\ 4x^{2}\ -\ 12x\ -\ 16\ =\ 0\\ x^{2}\ -\ 3x\ -\ 4\ =\ 0\\ \left ( x\ +\ 1 \right )\left ( x\ -\ 4 \right )\ =\ 0$
Jadi, solusi persamaan $\left | 3\ -\ 2x \right |\ =\ 5$ yakni $x_{1}\ =\ -1$ atau $x_{2}\ =\ 4$
(d) $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ -1$
Mengingat bahwa nilai mutlak sebuah bilangan tak pernah negatif, maka tidak ada satupun nilai $x\ \in \ R$ yang menyanggupi persamaan itu. Bisa dibilang bahwa persamaan $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ -1$ tidak punya penyelesaian.
(e) $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ =\ 6$
$\left ( 2x\ -\ 3 \right )^{2}\ =\ 6^{2}\\ 4x^{2}\ -\ 12x\ +\ 9\ =\ 36\\ 4x^{2}\ -\ 12x\ -\ 27\ =\ 0\\ \left ( 2x\ +\ 3 \right )\left ( 2x\ -\ 9 \right )\ =\ 0$
Untuk $2x\ +\ 3$, maka:
$2x\ +\ 3\ =\ 0\\ 2x\ =\ -3\\ x\ =\ -\frac{3}{2}\\ x\ =\ -1\frac{1}{2} \Rightarrow\ \text{nilai}\ x_{1}$
Untuk $2x\ -\ 9$, maka:
$2x\ -\ 9\ =\ 0\\ 2x\ =\ 9\\ x\ =\ \frac{9}{2}\\ x\ =\ 4\frac{1}{2} \Rightarrow\ \text{nilai}\ x_{2}$
Jadi, solusi persamaan $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ =\ 6$ yakni $x_{1}\ =\ -1\frac{1}{2}$ atau $x_{2}\ =\ 4\frac{1}{2}$
(f) $\left | 3x\ -\ 1 \right |\ =\ 2$
$\left ( 3x\ -\ 1 \right )^{2}\ =\ 2^{2}\\ 9x^{2}\ -\ 6x\ +\ 1\ =\ 4\\ 9x^{2}\ -\ 6x\ -\ 3\ =\ 0\\ 3x^{2}\ -\ 2x\ -\ 1\ =\ 0\\ \left ( 3x\ +\ 1 \right )\left ( x\ -\ 1 \right )\ =\ 0$
Untuk $3x\ +\ 1$, maka:
$3x\ +\ 1\ =\ 0\\ 3x\ =\ -1\\ x\ =\ -\frac{1}{3} \Rightarrow\ \text{nilai}\ x_{1}$
Untuk $x\ -\ 1$, maka:
$x\ -\ 1\ =\ 0\\ x\ =\ 1 \Rightarrow\ \text{nilai}\ x_{2}$
Jadi, solusi persamaan $\left | 3x\ -\ 1 \right |\ =\ 2$ yakni $x_{1}\ =\ -\frac{1}{3}$ atau $x_{2}\ =\ 1$
(g) $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ =\ 5$
$\left ( 2x\ -\ 3 \right )^{2}\ =\ 5^{2}\\ 4x^{2}\ -\ 12x\ +\ 9\ =\ 25\\ 4x^{2}\ -\ 12x\ -\ 16\ =\ 0\\ x^{2}\ -\ 3x\ -\ 4\ =\ 0\\ \left ( x\ +\ 1 \right )\left ( x\ -\ 4 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ -1$ atau $x_{2}\ =\ 4$
Jadi, solusi persamaan $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ =\ 5$ yakni $x_{1}\ =\ -1$ atau $x_{2}\ =\ 4$
Contoh 2:
Tentukan himpunan solusi dari persamaan nilai mutlak dibawah ini
(a) $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ \left | x\ +\ 1 \right |$
(b) $\left | 3\ -\ x \right |\ =\ \left | 2x\ +\ 1 \right |$
(c) $\left | x\ -\ 2 \right |^{2}\ -\ 4\left | x\ -\ 2 \right |\ +\ 3\ =\ 0$
Jawab:
(a) $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ \left | x\ +\ 1 \right |$
$\sqrt{\left ( x\ -\ 2 \right )^{2}}\ =\ \sqrt{\left ( x\ +\ 1 \right )^{2}}$, ingat sifat nilai mutlak kedua.
$\left ( x\ -\ 2 \right )^{2}\ =\ \left ( x\ +\ 1 \right )^{2}$, dengan menguadratkan kedua ruas persamaan.
$x^{2}\ -\ 4x\ +\ 4\ =\ x^{2}\ +\ 2x\ +\ 1\\ 6x\ =\ 3\\ x\ =\ \frac{1}{2}$
Jadi, solusi persamaan $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ \left | x\ +\ 1 \right |$ yakni $x\ =\ \frac{1}{2}$
(b) $\left | 3\ -\ x \right |\ =\ \left | 2x\ +\ 1 \right |$
$\sqrt{\left ( 3\ -\ x \right )^{2}}\ =\ \sqrt{\left ( 2x\ +\ 1 \right )^{2}}\\ \left ( 3\ -\ x \right )^{2}\ =\ \left ( 2x\ +\ 1 \right )^{2}\\ 9\ -\ 6x\ +\ x^{2}\ =\ 4x^{2}\ +\ 4x\ +\ 1\\ -3x^{2}\ -\ 10x\ +\ 8\ =\ 0\\ 3x^{2}\ +\ 10x\ -\ 8\ =\ 0\\ \left ( x\ +\ 4 \right )\left ( 3x\ -\ 2 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ -4$ atau $x_{2}\ =\ \frac{2}{3}$
Jadi, solusi persamaan $\left | 3\ -\ x \right |\ =\ \left | 2x\ +\ 1 \right |$ yakni $x_{1}\ =\ -4$ atau $x_{2}\ =\ \frac{2}{3}$
(c) $\left | x\ -\ 2 \right |^{2}\ -\ 4\left | x\ -\ 2 \right |\ +\ 3\ =\ 0$
Misalkan $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ y$, maka persamaan nilai mutlak semula menjadi:
$y^{2}\ -\ 4y\ +\ 3\ =\ 0\\ \left ( y\ -\ 1 \right )\left ( y\ -\ 3 \right )\ =\ 0$
$y_{1}\ =\ 1$ atau $y_{2}\ =\ 3$
Untuk $y_{1}\ =\ 1$, didapat:
$\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ 1\\ \left ( x\ -\ 2 \right )^{2}\ =\ 1^{2}\\ x^{2}\ -\ 4x\ +\ 4\ =\ 1\\ x^{2}\ -\ 4x\ +\ 3\ =\ 0\\ \left ( x\ -\ 1 \right )\left ( x\ -\ 3 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ 1$ atau $x_{2}\ =\ 3$
Untuk $y_{2}\ =\ 3$, didapat:
$\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ 3\\ \left ( x\ -\ 2 \right )^{2}\ =\ 3^{2}\\ x^{2}\ -\ 4x\ +\ 4\ =\ 9\\ x^{2}\ -\ 4x\ -\ 5\ =\ 0\\ \left ( x\ +\ 1 \right )\left ( x\ -\ 5 \right )\ =\ 0$
$x_{3}\ =\ -1$ atau $x_{4}\ =\ 5$
Jadi, solusi persamaan $\left | x\ -\ 2 \right |^{2}\ -\ 4\left | x\ -\ 2 \right |\ +\ 3\ =\ 0$ yakni $x\ =\ -1$, $x\ =\ 1$, $x\ =\ 3$ atau $x\ =\ 5$
Sampai disini semoga tidak ada kendala. Apakah teman-teman masih butuh referensi soal lagi???
Baiklah, pelajari referensi dibawah.
Contoh 3:
Tentukan solusi dari persamaan nilai mutlak berikut
(a) $\left | 4x\ -\ 2 \right |\ =\ \left | x\ +\ 7 \right |$
(b) $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ 5$
(c) $\left | 2x\ -\ 1 \right |\ =\ \left | x\ +\ 4 \right |$
(d) $\left | 3x\ -\ 4 \right |\ =\ 8$
(e) $\left | x\ -\ 4 \right |\ =\ 6$
Jawab:
(a) $\left | 4x\ -\ 2 \right |\ =\ \left | x\ +\ 7 \right |$
$\sqrt{\left ( 4x\ -\ 2 \right )^{2}}\ =\ \sqrt{\left ( x\ +\ 7 \right )^{2}}$
$\left ( 4x\ -\ 2 \right )^{2}\ =\ \left ( x\ +\ 7 \right )^{2}$
$16x^{2}\ -\ 16x\ +\ 4 =\ x^{2}\ +\ 14x\ +\ 49\\ 15x^{2}\ -\ 30x\ -\ 45\ =\ 0\\ x^{2}\ -\ 2x\ -\ 3\ =\ 0\\ \left ( x\ +\ 1 \right )\left ( x\ -\ 3 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ -1$ atau $x_{2}\ =\ 3$
Jadi, solusi persamaan $\left | 4x\ -\ 2 \right |\ =\ \left | x\ +\ 7 \right |$ yakni $x_{1}\ =\ -1$ atau $x_{2}\ =\ 3$
(b) $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ 5$
$\left ( x\ -\ 2 \right )^{2}\ =\ \left ( 5 \right )^{2}\\ x^{2}\ -\ 4x\ +\ 4\ =\ 25\\ x^{2}\ -\ 4x\ -\ 21\ =\ 0\\ \left ( x\ +\ 3 \right )\left ( x\ -\ 7 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ -3$ atau $x_{2}\ =\ 7$
Jadi, solusi persamaan $\left | x\ -\ 2 \right |\ =\ 5$ yakni $x_{1}\ =\ -3$ atau $x_{2}\ =\ 7$
(c) $\left | 2x\ -\ 1 \right |\ =\ \left | x\ +\ 4 \right |$
$\sqrt{\left ( 2x\ -\ 1 \right )^{2}}\ =\ \sqrt{\left ( x\ +\ 4 \right )^{2}}$
$\left ( 2x\ -\ 1 \right )^{2}\ =\ \left ( x\ +\ 4 \right )^{2}\\ 4x^{2}\ -\ 4x\ +\ 1 =\ x^{2}\ +\ 8x\ +\ 16\\ 3x^{2}\ -\ 12x\ -\ 15\ =\ 0\\ x^{2}\ -\ 4x\ -\ 5\ =\ 0\\ \left ( x\ +\ 1 \right )\left ( x\ -\ 5 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ -1$ atau $x_{2}\ =\ 5$
Jadi, solusi persamaan $\left | 2x\ -\ 1 \right |\ =\ \left | x\ +\ 4 \right |$ yakni $x_{1}\ =\ -1$ atau $x_{2}\ =\ 5$
(d) $\left | 3x\ -\ 4 \right |\ =\ 8$
$\left ( 3x\ -\ 4 \right )^{2}\ =\ \left ( 8 \right )^{2}\\ 9x^{2}\ -\ 24x\ +\ 16\ =\ 64\\ 9x^{2}\ -\ 24x\ -\ 48\ =\ 0\\ 3x^{2}\ -\ 8x\ -\ 16\ =\ 0\\ \left ( 3x\ +\ 4 \right )\left ( x\ -\ 4 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ -\frac{4}{3}$ atau $x_{2}\ =\ 4$
Jadi, solusi persamaan $\left | 3x\ -\ 4 \right |\ =\ 8$ yakni $x_{1}\ =\ -\frac{4}{3}$ atau $x_{2}\ =\ 4$
(e) $\left | x\ -\ 4 \right |\ =\ 6$
$\left ( x\ -\ 4 \right )^{2}\ =\ \left ( 6 \right )^{2}\\ x^{2}\ -\ 8x\ +\ 16\ =\ 36\\ x^{2}\ -\ 8x\ -\ 20\ =\ 0\\ \left ( x\ +\ 2 \right )\left ( x\ -\ 10 \right )\ =\ 0$
$x_{1}\ =\ -2$ atau $x_{2}\ =\ 10$
Jadi, solusi persamaan $\left | x\ -\ 4 \right |\ =\ 6$ yakni $x_{1}\ =\ -2$ atau $x_{2}\ =\ 10$
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Perhatikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini:
(i) $\left | x\ -\ 4 \right |\ <\ 2$
(ii) $\left | 2x\ -\ 5 \right |\ >\ 1$
(iii) $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ \leq \ \left | x\ +\ 4 \right |$
(iv) $\left | x\ -\ 5 \right |^{2}\ -\ 4\left | x\ -\ 5 \right |\ -\ 12\ <\ 0$
Pada pertidaksamaan di atas, peubah $x$ terdapat di dalam tanda nilai mutlak. Jadi, pertidaksamaan nilai mutlak yakni sebuah pertidaksamaan yang peubahnya terdapat di dalam tanda nilai mutlak.
MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Agar lebih paham dalam menyeleksi solusi pertidaksamaan nilai mutlak, berikut contoh-contoh soalnya.
Contoh 1:
Tentukan himpunan solusi dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut
(a) $\left | x\ -\ 3 \right |\ <\ 4$
(b) $\left | 2x\ +\ 1 \right |\ \leq \ 7$
(c) $\left | x\ -\ 2 \right |\ >\ 3$
(d) $\left | 3x\ -\ 2 \right |\ \geq \ 4$
Jawab:
(a) $\left | x\ -\ 3 \right |\ <\ 4$
Dengan memakai sifat nilai mutlak 1-i), didapat:
$-4\ <\ x\ -\ 3\ <\ 4$
$-4\ +\ 3 <\ x\ -\ 3\ +\ 3\ <\ 4\ +\ 3$, semua ruas ditambah 3
$-1\ <\ x\ <\ 7$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang menyanggupi pertidaksamaan $\left | x\ -\ 3 \right |\ <\ 4$ yakni $-1\ <\ x\ <\ 7$
Dalam bentuk himpunan solusi ditulis selaku $\left \{ x\ \mid \ -1\ <\ x\ <\ 7,\ x\ \in \ R \right \}$
(b) $\left | 2x\ +\ 1 \right |\ \leq \ 7$
Dengan memakai sifat nilai mutlak 1-i), didapat:
$-7\ \leq \ 2x\ +\ 1\ \leq \ 7$
$-7\ -\ 1\ \leq \ 2x\ +\ 1\ -\ 1\ \leq \ 7\ -\ 1$, semua ruas dikurang 1
$-8\ \leq \ 2x\ \leq \ 6$
$-4\ \leq \ x\ \leq \ 3$, semua ruas dibagi 2
Jadi, nilai-nilai $x$ yang menyanggupi pertidaksamaan $\left | 2x\ +\ 1 \right |\ \leq \ 7$ yakni $-4\ \leq \ x\ \leq \ 3$
Dalam bentuk himpunan solusi ditulis selaku $\left \{ x\ \mid \ -4\ \leq \ x\ \leq \ 3,\ x\ \in \ R \right \}$
(c) $\left | x\ -\ 2 \right |\ >\ 3$
Dengan memakai sifat nilai mutlak 1-ii), didapat:
$x\ -\ 2\ <\ -3$ atau $x\ -\ 2\ >\ 3$
$x\ -\ 2\ +\ 2\ <\ -3\ +\ 2$ atau $x\ -\ 2\ +\ 2\ >\ 3\ +\ 2$
$x\ <\ -1$ atau $x\ >\ 5$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang menyanggupi pertidaksamaan $\left | x\ -\ 2 \right |\ >\ 3$ yakni $x\ <\ -1$ atau $x\ >\ 5$
(d) $\left | 3x\ -\ 2 \right |\ \geq \ 4$
Dengan memakai sifat nilai mutlak 1-ii), didapat:
$3x\ -\ 2\ \leq \ -4$ atau $3x\ -\ 2\ \geq \ 4$
$3x\ -\ 2\ +\ 2\ \leq \ -4\ +\ 2$ atau $3x\ -\ 2\ +\ 2\ \geq \ 4\ +\ 2$
$3x\ \leq \ -2$ atau $3x\ \geq \ 6$
$x\ \leq \ -\frac{2}{3}$ atau $x\ \geq \ 2$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang menyanggupi pertidaksamaan $\left | 3x\ -\ 2 \right |\ \geq \ 4$ yakni $x\ \leq \ -\frac{2}{3}$ atau $x\ \geq \ 2$
Contoh 2:
Tentukan himpunan solusi dari setiap pertidaksamaan nilai mutlak berikut
(a) $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ <\ \left | x\ +\ 4 \right |$
(b) $\left | 2x\ +\ 1 \right |\ \geq \ \left | x\ -\ 2 \right |$
(c) $\left | x\ -\ 1 \right |^{2}\ +\ \left | x\ -\ 1 \right |\ <\ 6$
(d) $2\ <\ \left | 2\ -\ \frac{1}{2}x \right |\ \leq \ 3$
Jawab:
(a) $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ <\ \left | x\ +\ 4 \right |$
$\sqrt{\left ( 2x\ -\ 3 \right )^{2}}\ <\ \sqrt{\left ( x\ +\ 4 \right )^{2}}$, ingat sifat nilai mutlak kedua.
$\left ( 2x\ -\ 3 \right )^{2}\ <\ \left ( x\ +\ 4 \right )^{2}$, dengan menguadratkan kedua ruas persamaan.
$4x^{2}\ -\ 12x\ +\ 9\ <\ x^{2}\ +\ 8x\ +\ 16$
$3x^{2}\ -\ 20x\ +\ 7\ <\ 0$
$\left ( 3x\ +\ 1 \right )\left ( x\ -\ 7 \right )\ <\ 0$
$x_{1}\ =\ -\frac{1}{3}$ atau $x_{2}\ =\ 7$
Jadi, himpunan solusi pertidaksamaan $\left | 2x\ -\ 3 \right |\ <\ \left | x\ +\ 4 \right |$ yakni $\left \{ x\ \mid \ -\frac{1}{3}\ <\ x\ <\ 7,\ x\ \in \ R \right \}$
(b) $\left | 2x\ +\ 1 \right |\ \geq \ \left | x\ -\ 2 \right |$
$\sqrt{\left ( 2x\ +\ 1 \right )^{2}}\ \geq \ \sqrt{\left ( x\ -\ 2 \right )^{2}}$, ingat sifat nilai mutlak kedua.
$\left ( 2x\ +\ 1 \right )^{2} \geq \ \left ( x\ -\ 2 \right )^{2}$, dengan menguadratkan kedua ruas persamaan.
$4x^{2}\ +\ 4x\ +\ 1\ \geq \ x^{2}\ -\ 4x\ +\ 4$
$3x^{2}\ +\ 8x\ -\ 3\ \geq \ 0$
$\left ( x\ +\ 3 \right )\left ( 3x\ -\ 1 \right )\ \geq \ 0$
$x\ \leq \ -3$ atau $x\ \geq \ \frac{1}{3}$
Jadi, himpunan solusi pertidaksamaan $\left | 2x\ +\ 1 \right |\ \geq \ \left | x\ -\ 2 \right |$ yakni $\left \{ x\ \mid \ x\ \leq \ -3\ \text{atau}\ x\ \geq \ \frac{1}{3},\ x\ \in \ R \right \}$
(c) $\left | x\ -\ 1 \right |^{2}\ +\ \left | x\ -\ 1 \right |\ <\ 6$
$\left | x\ -\ 1 \right |^{2}\ +\ \left | x\ -\ 1 \right |\ -\ 6\ <\ 0$
Misalkan $\left | x\ -\ 1 \right |\ =\ y$, sehingga pertidaksamaan semula menjadi:
$y^{2}\ +\ y\ -\ 6\ <\ 0$
$\left ( y\ +\ 3 \right )\left ( y\ -\ 2 \right )\ <\ 0$
$-3\ <\ y\ <\ 2$
Untuk $y_{1}\ >\ -3$, didapat:
$\left | x\ -\ 1 \right |\ >\ -3$ untuk tiap $x\ \in \ R$ memenuhi
Untuk $y_{2}\ <\ 2$, didapat:
$\left | x\ -\ 1 \right |\ <\ 2$
$-2\ <\ x\ -\ 1\ <\ 2$
$-2\ +\ 1\ <\ x\ -\ 1\ +\ 1\ <\ 2\ +\ 1$
$-1\ <\ x\ <\ 3$
Jadi, himpunan solusi pertidaksamaan $\left | x\ -\ 1 \right |^{2}\ +\ \left | x\ -\ 1 \right |\ <\ 6$ yakni $\left \{ x\ \mid \ -1\ <\ x\ <\ 3,\ x\ \in \ R \right \}$
(d) $2\ <\ \left | 2\ -\ \frac{1}{2}x \right |\ \leq \ 3$
- $\left | 2\ -\ \frac{1}{2}x \right |\ \leq \ 3$
$-3\ \leq \ 2\ -\ \frac{1}{2}x\ \leq \ 3$
$-5\ \leq \ -\frac{1}{2}x\ \leq \ 1$
$10\ \geq \ x\ \geq \ -2$ atau $-2\ \leq \ x\ \leq \ 10$ ..............1) - $2\ <\ \left | 2\ -\ \frac{1}{2}x \right |$, sesuaikan dengan sifat $\left | x \right |\ >\ a$
menjadi: $\left | 2\ -\ \frac{1}{2}x \right |\ >\ 2$
$2\ -\ \frac{1}{2}x\ <\ -2$ atau $2\ -\ \frac{1}{2}x\ >\ 2$
$-\frac{1}{2}x\ <\ -4$ atau $-\frac{1}{2}x\ >\ 0$
sehingga,
$x\ >\ 8$ ..............2)
atau
$x\ <\ 0$ ..............3)
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni $\left \{ x\ \mid \ -2\ \leq \ x\ <\ 0\ \text{atau}\ 8\ <\ x\ \leq \ 10,\ x\ \in \ R \right \}$
Demikian ulasan wacana persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, biar bermanfaat.
