Matematika Dasar: Distribusi Hipergeometrik

Pengertian Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik juga tergolong distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan dua peristiwa yang berkomplemen, menyerupai halnya distribusi binomial.

Perbedaan yang utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik merupakan pada cara pengambilan sampelnya. Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilaksanakan dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilaksanakan tanpa pengembalian.

Dari klarifikasi di atas, sanggup ditarik kesimpulan bahwa distribusi hipergeometrik merupakan distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok objek atau populasi yang diseleksi tanpa pengembalian.

Distribusi hipergeometrik memiliki kedua sifat berikut:

1. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda
2. Sebanyak k benda sanggup diberi nama berhasil sedangkan sisanya, N – k, diberi nama gagal

Rumus Distribusi Hipergeometrik

Secara umum, distribusi hipergeometrik dirumuskan:

\[P\left ( X=x \right )=h\left ( x;N,n,k \right )=\frac{C_{k}^{n}C_{N-k}^{n-x}}{C_{N}^{n}}\]

Keterangan:

N = ukuran populasi

n = ukuran sampel

k = banyaknya elemen yang serupa pada populasi

x = banyaknya peristiwa sukses

Distribusi hipergeometrik sanggup diperluas, menyerupai berikut ini.

Jika dari populasi yang berskala N terdapat unsur-unsur yang sama, yakni 𝑘_1,𝑘_2,𝑘_3, … ,𝑘_𝑛 dan dalam sampel berskala n terdapat unsur-unsur yang serupa pula, yakni 𝑥_1,𝑥_2,𝑥_3, …,𝑥_𝑛 dengan 𝑘_1+𝑘_2+𝑘_3+ …+𝑘_𝑛=𝑁 dan 𝑥_1+𝑥_2+𝑥_3+ …+𝑥_𝑛=𝑛, distribusi hipergeometrik dirumuskan:

\[P\left ( X=x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )=\frac{C_{x_{1}}^{k_{1}}C_{x_{2}}^{k_{2}}...C_{x_{n}}^{k_{n}}}{C_{N}^{n}}\]

Contoh soal:

1. Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 diantaranya pecah. Apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua diantaranya pecah?
2. Dari observasi golongan darah mahasiswa pada suatu universitas, dipahami bahwa dari 10 mahasiswa terdapat 2 mahasiswa bergolongan darah A, 5 mahasiswa bergolongan darah B, dan 3 mahasiswa bergolongan darah O. Apabila diambil 5 orang mahasiswa, berapa probabilitas seorang mahasiswa memiliki golongan darah A, 2 mahasiswa memiliki golongan darah B, dan 2 mahasiswa memiliki golongan darah O?

Penyelesaian:

1. Probabilitas dua bola pecah dari pengambilan 4 bola merupakan $N=50;n=4;k=5;x=2$
$P\left ( X=2 \right )=\frac{C_{2}^{5}C_{4-2}^{50-5}}{C_{4}^{50}}$
$P\left ( X=2 \right )=\frac{C_{2}^{5}C_{2}^{45}}{C_{4}^{50}}$
$P\left ( X=2 \right )=\frac{10\times 990}{230.300}$
$P\left ( X=2 \right )=\frac{9900}{230.300}$
$P\left ( X=2 \right )=0,043$


2. Diketahui:
$N=10;\text{ berisikan }k_{1}=2,k_{2}=5,k_{3}=3$
$n=5;\text{ berisikan }x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=2$


$P\left ( X=1,2,2 \right )=\frac{C_{1}^{2}C_{2}^{5}C_{2}^{3}}{C_{5}^{10}}$
$P\left ( X=1,2,2 \right )=\frac{2\times 10\times 3}{252}$
$P\left ( X=1,2,2 \right )=\frac{60}{252}$
$P\left ( X=1,2,2 \right )=0,238$

Perbedaan Distribusi Binomial dan Distribusi Hipergeometrik

Perbedaan utama distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik merupakan pada cara pengambilan sampelnya.

Pada distribusi hipergeometrik, probabilitas kesuksesan dalam setiap pengambilan tergantung dari berapa banyak macam sampel dari suatu populasi dan tergantung sampel yang sudah diambil.

Contoh Soal:

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang berisikan 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 bola Putih. Berapa peluang:

1. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilaksanakan secara acak dengan pengembalian?
2. Terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilaksanakan secara acak tanpa pengembalian?

Penyelesaian

Karena pengambilan sampel pada soal a dilaksanakan dengan pengembalian bermakna soal a ditanggulangi dengan distribusi binomial:

$p=\frac{2}{5};q=\frac{3}{5};n=4;x=2$

$P\left ( X=2 \right )=C_{2}^{4}\times p^{2}\times q^{4-2}$

$P\left ( X=2 \right )=6\times \left ( \frac{2}{5} \right )^{4}\times \left ( \frac{3}{5} \right )^{2}$

$P\left ( X=2 \right )=0,3456$

Karena pengambilan sampel pada soal b dilaksanakan tanpa pengembalian bermakna soal b ditanggulangi dengan distribusi hipergeometrik:

$N=5;n=4;k=2;x=2$

$P\left ( X=2 \right )=\frac{C_{2}^{2}C_{4-2}^{5-2}}{C_{4}^{5}}$

$P\left ( X=2 \right )=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{3}}{C_{4}^{5}}$

$P\left ( X=2 \right )=\frac{1\times 3}{5}$

$P\left ( X=2 \right )=\frac{3}{5}$

$P\left ( X=2 \right )=0,6$

Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Hipergeometrik

Rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi hipergeometrik $h\left ( x;N,n,k \right )$ adalah:

1. Rata-rata
   
   
   $\mu =\frac{nk}{N}$


2. Varians
   
   
   $\sigma ^{2}=\frac{N-n}{N-1}\times n\times \frac{k}{n}\left ( 1-\frac{k}{n} \right )$


3. Simpangan Baku
   
   
   $\sigma =\sqrt{\frac{N-n}{N-1}\times n\times \frac{k}{n}\left ( 1-\frac{k}{n} \right )}$

Demikian bahan mengenai distribusi hipergeometrik. File pdf-nya sanggup kawan miliki dengan mengklik tombol download berikut.

Download

Buat lebih berguna, kongsi:

1.2k Google Facebook Twitter