Matematika Dasar: Distribusi Poisson

Pengertian Distribusi Poisson

Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, didapatkan oleh S.D. Poisson (1781 – 1841), spesialis matematika bangsa Prancis. Distribusi poisson tergolong distribusi teoretis yang memakai variabel random diskrit. Distribusi Poisson merupakan distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yakni banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

Ciri-ciri Distribusi Poisson

Distribusi Poisson memiliki ciri-ciri selaku berikut.

Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.
Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, seimbang dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah tersebut.
Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil sanggup diabaikan.

Contoh:
Peristiwa munculnya kendaraan yang lewat dalam suatu interval waktu di suatu ruas jalan. Dari peristiwa tersebut, sanggup diperhatikan hal-hal berikut.

Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan sanggup dijumlah menurut data masa lalu.
Tingkat kedatangan rata-rata kendaraan per satuan waktu merupakan konstan.
Banyaknya kedatangan kendaraan dalam suatu interval waktu tertentu merupakan peristiwa independen (bebas).
Probabilitas kedatangan kendaraan-kendaraan itu dalam suatu interval waktu merupakan sungguh kecil, dan sanggup dibilang mendekati nol.

Kegunaan Distribusi Poisson

Distribusi Poisson banyak digunakan dalam hal berikut.

Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, menyerupai mengkalkulasikan probabilitas dari:
- banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya kendaraan beroda empat yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan;
- banyaknya kuman dalam 1 tetes atau 1 liter air;
- banyaknya kesalahan ketik per halaman suatu buku;
- banyaknya kecelakaan kendaraan beroda empat di jalan tol selama ahad pertama bulan Oktober.
Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p < 0,1)

Rumus Distribusi Poisson

a. Rumus Probabilitas Poisson Suatu Peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

\[P\left ( X=x \right )=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}\]

Keterangan:
$\lambda$ = rata-rata terjadinya suatu peristiwa bilangan alam
$e$ = bilangan natural = bilangan euler = 2,71828

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson sanggup juga dirumuskan:

\[P\left ( X=x \right )=\frac{e^{-\lambda t}\left ( \lambda t \right )^{x}}{x!}\]

Keterangan:

$\lambda$ = tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu
$t$ = banyaknya satuan waktu
$x$ = banyaknya kedatangan dalam 𝑡 satuan waktu
$e$ = bilangan alam = 2,71828
Contoh soal

Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata pemasaran lampu TL 40 W saban hari 5 buah. Jika seruan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson, berapa probabilitas untuk pemasaran berikut?
- 0 lampu TL
- 3 lampu TL
Penyelesaian:
$\lambda =5$; $e^{-5}=2,71828^{-5}=0,00674$
- 0 lampu TL (𝑥 = 0)
- 3 lampu TL (𝑥 = 3)

Dalam suatu majalah yang berisikan 120 halaman terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman-halaman majalah tersebut. Hitung probabilitas, seandainya suatu halaman majalah tersebut dibuka:
- tidak terdapat salah cetak,
- 4 kata yang salah cetak!
Penyelesaian:
$n=80;\text{ }p=\frac{1}{120}$
$\lambda =n\times p=80\times \frac{1}{120}=0,67$
- tidak terdapat salah cetak (𝑥 = 0)
- 4 kata yang salah cetak (𝑥 = 4)

Ruang gawat darurat suatu rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4 orang per hari. Kedatangan pasien mengikuti proses Poisson.
- Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari?
- Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien hingga pada siang hari saja?
Penyelesaian:
$t=1;\text{ }\lambda =4;\text{ }x=2$
- 2 pasien per hari
- 2 pasien hingga pada siang hari (𝑥 = 2) memiliki arti $t=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

b. Probabilitas distribusi Poisson kumulatif

Probabilitas Poisson kumulatif merupakan probabilitas dari peristiwa Poisson lebih dari satu. Probabilitas Poisson kumulatif (PPK) sanggup dijumlah dengan rumus:

$PPK=\sum_{x=0}^{n}\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!}$

$PPK=\sum_{x=0}^{n}P\left ( X=x \right )$

$PPK=P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=2 \right )+...+P\left ( X=n \right )$

Contoh soal

Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata pemasaran lampu TL 40 W saban hari 5 buah. Permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson.
- Tentukan probabilitas pemasaran paling banyak 2 lampu!
- Andaikan persediaan (stock) lampu sisa 3, berapa probabilitas seruan lebih dari 3 lampu?
Penyelesaian:
$\lambda =5;\text{ }e^{-5}=2,71828^{-5}=0,00674$
- Paling banyak 2 lampu (𝑥 = 0, 1, 2)
- Permintaan lebih dari 3 lampu (𝑥 ≥ 3)

Suatu mesin diturunkan untuk diperbaiki rata-rata 2 kali sebulan. Penurunan mesin lebih dari 4 kali memunculkan rencana buatan tidak tercapai. Jika penurunan mesin mengikuti proses Poisson, berapa probabilitas rencana buatan tidak tercapai?

Penyelesaian:
$\lambda =2;\text{ }e^{-2}=2,71828^{-2}=0,135$

$P\left ( X\geq 4 \right )=1-\sum_{x=0}^{n}P\left ( X=x \right )$

$P\left ( X\geq 4 \right )=1-P\left ( X=0 \right )+P\left ( X=1 \right )+...+P\left ( X=4 \right )$

$P\left ( X\geq 4 \right )=1-0,947=0,053 $

c. Distribusi Poisson selaku pendekatan distribusi binomial

Distribusi Poisson selaku pendekatan distribusi binomial dirumuskan:

\[P\left ( X=x \right )=\frac{\left ( n\times p \right )^{x}\times e^{-n\times p}}{x!}\]

Keterangan:
$n \times p$ = rata-rata distribusi binomial

Contoh soal

Sebuah konveksi busana memakai 20 mesin jahit. Probabilitas suatu mesin jahit mengalami dan membutuhkan perbaikan merupakan 0,02. Tentukan probabilitas dari 3 mesin yang mau mengalami gangguan dan membutuhkan perbaikan, gunakan pendekatan Poisson dan binomial!

Penyelesaian:

Pendekatan Poisson

$n=20;\text{ }p=0,02;\text{ }x=3$

$P\left ( X=x \right )=\frac{\left ( n\times p \right )^{x}\times e^{-n\times p}}{x!}$

$P\left ( X=3 \right )=\frac{\left ( 20\times 0,02 \right )^{3}\times \left ( 2,71828 \right )^{-20\times 0,02}}{3!}$

$P\left ( X=3 \right )=\frac{\left ( 0,4 \right )^{3}\times \left ( 2,71828 \right )^{-0,4}}{6}$

$P\left ( X=3 \right )=\frac{\left ( 0,064 \right )\times \left ( 0,67032 \right )}{6}=0,0072$

Pendekatan binomial

$n=20;\text{ }p=0,02;\text{ }x=3;\text{ }q=1-0,02=0,98$

$P\left ( X=x \right )=c_{x}^{n}\times p^{x}\times q^{n-x}$

$P\left ( X=3 \right )=c_{3}^{20}\times 0,02^{3}\times 0,98^{20-3}$

$P\left ( X=3 \right )=1.140\times 0,000008\times 0,71$

$P\left ( X=3 \right )=0,0065$