Memiliki kumpulan rumus matematika yang lengkap mulai dari SD, Sekolah Menengah Pertama hingga Sekolah Menengan Atas ialah prospek setiap siswa. Apalagi bila diulas secara rincian dan diperoleh lewat media online. Tinggal cari di google, ketik keyword "rumus matematika" dan pribadi tampil hasilnya. Mengingat alasannya yakni matematika selaku pelajaran tersulit, jadi bila menjalankan soal yang pakai rumus tidak perlu bolak balik lagi cari dibuku.
Lalu, kira-kira mengapa ya matematika dianggap selaku pelajaran tersulit??
Umumnya siswa menyampaikan alasannya yakni materinya senantiasa membahas soal, pengerjaannya pun mesti pakai rumus. Belum lagi rumus matematika jumlahnya banyak, jadi risau mesti pakai yang mana.
Makanya tidak mengherankan bila pada biasanya siswa bahagia menangguhkan dan malas untuk menyelesaikan soal kiprah ataupun PR yang diberikan oleh bapak ibu guru disekolah.
Disamping itu, siswa kadang kurang termotivasi untuk berguru matematika. Malah sebagian siswa mengelak dan mencari banyak sekali argumentasi untuk tidak masuk bila les pelajaran matematika. Apalagi bila ada kiprah tetapi ternyata belum dikerjakan.
Padahal kita tahu bersama, untuk menamatkan sekolah dijenjang SD, Sekolah Menengah Pertama hingga Sekolah Menengan Atas wajib mengikuti Ujian Nasional. Salah satu mata pelajaran yang diujikan yakni matematika. Masih mau mengelak dan tidak mau berguru matematika??
Belajar matematika ternyata ada banyak keuntungannya lho. Bahkan penerapan materinya pun sungguh erat relevansinya dalam kehidupan sehari-hari. Contoh dekatnya, di saat orang bau tanah memerintahkan belanja. Nah, bila sudah menguasai materi matematika maka untuk mengkalkulasikan total belanjaan jadi mudah. Sehingga sobat tahu berapa jumlah duit yang mesti dibayar serta duit kembaliannya.
Makanya mulai kini teman-teman mesti semangat berguru matematika. Rajin-rajinlah menjalankan soal kiprah atau PR.
Bagaimana caranya biar sanggup menyelesaikan soal-soal matematika?
Tenang saja teman-teman, goresan pena kali ini akan mengulas rumus matematika SD, Sekolah Menengah Pertama hingga Sekolah Menengan Atas yang sanggup mempermudah teman-teman dalam menjalankan soal matematika. Jadi, teman-teman sanggup menyeleksi sendiri rumus yang dipakai dalam membahas soal kiprah ataupun PR, tinggal cari dan klik judul materinya pada daftar isi berikut dan silahkan lihat rumusnya.
Berikut inti sari matematika yang sudah saya rangkum menjadi kumpulan rumus matematika lengkap mulai dari SD kelas 4, 5, 6, Sekolah Menengah Pertama kelas 7, 8, 9, hingga Sekolah Menengan Atas kelas 10, 11, 12 yang wajib sobat pahami agar gampang dalam menyelesaikan soal-soal matematika dari klasifikasi mudah, sedang hingga yang tersulit.
Bilangan
Jenis-jenis bilangan
- Bilangan prima, yakni bilangan yang cuma sanggup dibagi oleh dirinya sendiri dan bilangan satu. Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, ...
- Bilangan asli, yakni bilangan lingkaran yang dimulai dari satu. Contoh: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
- Bilangan cacah, yakni bilangan lingkaran yang dimulai dari nol. Contoh: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
- Bilangan ganjil, yakni bilangan lingkaran yang tidak habis dibagi 2. Contoh: 1, 3, 5, 7, 9, ...
- Bilangan genap, yakni bilangan lingkaran yang habis dibagi 2. Contoh: 2, 4, 6, 8, ...
- Bilangan bulat terdiri atas bilangan lingkaran negatif, nol, dan bilangan lingkaran positif. Contoh: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
- Bilangan rasional, yakni sembarang bilangan yang sanggup dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$. Syaratnya, a dan b anggota bilangan bulat, sedangkan b $\neq$ 0
- Bilangan real terdiri atas bilangan lingkaran dan bilangan pecahan. Contoh: $\frac{1}{2}$; 1, $1\frac{1}{1}$; 2; ...
Pengerjaan Hitung Bilangan
1. Penjumlahan
Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan setiap angka sesuai nilai tempatnya. Artinya, satuan dijumlahkan dengan satuan, puluhan dengan puluhan, ratusan dengan ratusan, dan seterusnya.
Berikut hasil penjumlahan menurut tanda bilangan:
| Tanda Bilangan 1 | Tanda Bilangan 2 | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | + |
| + | - | +, - |
| - | + | -, + |
| - | - | - |
2. Pengurangan
Pengurangan dilakukan dengan mengurangkan setiap angka sesuai nilai tempatnya. Kurangkan satuan dengan satuan, puluhan dengan puluhan, ratusan dengan ratusan, dan seterusnya.
Defenisi: meminimalisir suatu bilangan sama artinya dengan menjumlah dengan musuh bilangan pengurangnya. Bentuk umum: a - b = a + (-b)
Berikut hasil penghematan menurut tanda bilangan:
| Tanda Bilangan 1 | Tanda Bilangan 2 | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | +, - |
| + | - | + |
| - | + | - |
| - | - | -, + |
3. Perkalian
Definisi:
1. hasil perkalian dua bilangan berlainan tanda yakni bilangan negatif.
2. hasil perkalian dua bilangan dengan tanda yang serupa yakni bilangan positif.
Berikut hasil perkalian menurut tanda bilangan:
| Tanda Bilangan 1 | Tanda Bilangan 2 | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | + |
| + | - | - |
| - | + | - |
| - | - | + |
4. Pembagian
Definisi:
1. pembagian dua bilangan lingkaran bertanda sama balasannya yakni bilangan lingkaran positif.
2. pembagian dua bilangan lingkaran dengan tanda berlainan balasannya yakni bilangan lingkaran negatif.
Berikut hasil pembagian menurut tanda bilangan:
| Tanda Bilangan 1 | Tanda Bilangan 2 | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | + |
| + | - | - |
| - | + | - |
| - | - | + |
Sifat-sifat Pengerjaan Hitung Bilangan
a. Sifat komutatif (pertukaran)
- Komutatif pada penjumlahan
Bentuk umum: a + b = b + a - Komutatif pada perkalian
Bentuk umum: a x b = b x a
b. Sifat asosiatif (pengelompokkan)
- Asosiatif pada penjumlahan
Bentuk umum: (a + b) + c = a + (b + c) - Asosiatif pada perkalian
Bentuk umum: (a x b) x c = a x (b x c)
c. Sifat distributif (penyebaran)
- Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Bentuk umum: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) - Distributif perkalian terhadap pengurangan
Bentuk umum: a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
Aturan Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat
Aturan pengolahan operasi hitung adonan pada hitungan cacah juga berlaku pada operasi hitung adonan bilangan bulat.
Berikut hukum operasi hitung adonan bilangan bulat:
- operasi dalam tanda kurung dilaksanakan lebih dulu
- perkalian dan pembagian yakni setingkat, maka pengolahan dilakukan secara urut dari kiri
- penjumlahan dan penghematan yakni setingkat, maka pengolahan dilakukan secara urut dari kiri
- perkalian dan pembagian lebih tinggi tingkatannya dari penjumlahan dan pengurangan, maka perkalian atau penghematan dilaksanakan lebih dulu
Aturan Pembulatan Bilangan
Aturan pembulatan bilangan ke satuan, puluhan, ratusan, dan ribuan terdekat yakni selaku berikut:
a. Pembulatan ke satuan terdekat
- jika angka persepuluhan kurang dari 5 maka dihilangkan
- jika angka persepuluhan lebih dari atau sama dengan 5 maka dibulatkan menjadi 1 satuan
b. Pembulatan ke puluhan terdekat
- jika angka satuan kurang dari 5 maka dihilangkan
- jika angka satuan lebih dari atau sama dengan 5 maka dibulatkan menjadi 1 puluhan
c. Pembulatan ke ratusan terdekat
- jika angka puluhan kurang dari 5 maka dihilangkan
- jika angka puluhan lebih dari atau sama dengan 5 maka dibulatkan menjadi 1 ratusan
d. Pembulatan ke ribuan terdekat
- jika angka ratusan kurang dari 5 maka dihilangkan
- jika angka ratusan lebih dari atau sama dengan 5 maka dibulatkan menjadi 1 ribuan
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor dari suatu bilangan yakni bilangan yang membagi habis bilangan tersebut
Faktorisasi prima suatu bilangan yakni perkalian semua aspek prima bilangan itu
Faktor persekutuan yakni faktor-faktor dari dua bilangan atau lebih yang nilainya sama
Faktor komplotan terbesar dari dua bilangan atau lebih yakni bilangan paling besar yang habis membagi kedua bilangan tersebut. FPB dari dua atau tiga bilangan diperoleh dari perkalian aspek prima yang serupa dengan pangkat terkecil
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan suatu bilangan yakni hasil kali suatu bilangan dengan bilangan asli
Kelipatan persekutuan yakni semua kelipatan yang serupa dari dua bilangan atau lebih
Kelipatan komplotan terkecil dari dua bilangan atau lebih yakni bilangan terkecil yang habis dibagi bilangan-bilangan tersebut. KPK dari dua atau tiga bilangan diperoleh dari perkalian semua aspek prima, jikalau ada aspek yang bersekutu pilih aspek yang pangkatnya paling besar
Pecahan
Pecahan dilambangkan dengan $\frac{a}{b}$. Lambang a menyatakan pembilang dan b menyatakan penyebut, dengan b $\neq $ 0.
Bentuk-bentuk pecahan selaku berikut:
- Pecahan biasa
Pecahan biasa dilambangkan $\frac{a}{b}$. Pecahan biasa terbagi dua yaitu:- Pecahan sejati yakni pecahan yang nilai pembilangnya kurang dari nilai penyebutnya (a < b). Contoh: $\frac{1}{2},\ \frac{3}{4},\ \frac{6}{15},$ dll.
- Pecahan tidak sejati yakni pecahan yang nilai pembilangnya lebih dari atau sama dengan nilai penyebutnya (a $\geqslant $ b). Contoh: $\frac{4}{4},\ \frac{8}{5},\ \frac{12}{4},$ dll.
- Pecahan campuran, dilambangkan dengan $m\frac{a}{b}$, dengan a < b, b $\neq $ 0, dan m bilangan bulat. Contoh: $2\frac{1}{4},\ 8\frac{5}{6},$ dll.
Pecahan adonan sanggup diubah menjadi pecahan tidak sejati dengan cara mengalikan bilangan lingkaran pada pecahan dengan penyebut kemudian disertakan dengan pembilang, sedangkan penyebutnya tetap.
Contoh: $2\frac{3}{4}\ =\ \frac{2\ \times \ 4\ +\ 3}{4}\ =\ \frac{11}{4}$ - Pecahan desimal, yakni pecahan yang ditulis dengan menggunakan tanda koma. Koma berfungsi selaku pemisah antara bilangan lingkaran dan bab desimal. Contoh: 2,3; 6,87; 45,09; dll.
- Persen, yakni pecahan berpenyebut 100, ditulis dengan tanda %.
Pangkat
Notasi bilangan berpangkat
Notasi bilangan berpangkat yakni $a^{n}$ dengan a bilangan real dan n bilangan bulat. $a^{n}$ dibaca a pangkat n. Khusus n = 2, $a^{2}$ dibaca a kuadrat.
Notasi a disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.
Bilangan berpangkat dua (bilangan kuadrat)
Bilangan kuadrat yakni bilangan hasil perkalian dari dua bilangan yang sama. Bilangan kuadrat dinotasikan dengan $a^{2}\ =\ a\ \times \ a$.
Bilangan berpangkat tiga (bilangan kubik)
Bilangan kubik yakni bilangan hasil perkalian berulang sebanyak tiga kali dari bilangan yang sama. Bilangan kubik dinotasikan dengan $a^{3}\ =\ a\ \times \ a\ \times \ a$.
Sifat-sifat bilangan berpangkat
Berikut sifat-sifat yang dipakai dalam menyelesaikan soal bilangan berpangkat:
a. $a^{m}\ \times \ a^{n}\ =\ a^{n}\ \times \ a^{m}\ =\ a^{m+n}$
Contoh: $4^{2}\ \times \ 4^{3}\ =\ 4^{3}\ \times \ 4^{2}\ =\ 4^{2+3}\ =\ 4^{5}$
b. $\frac{a^{m}}{a^{n}}\ =\ a^{m}\ :\ a^{n}\ =\ a^{m-n}$
Contoh: $\frac{3^{6}}{3^{2}}\ =\ 3^{6-2}\ =\ 3^{4}$
c. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}\ =\ \frac{a^{m}}{b^{m}}$ dengan b $\neq $ 0
Contoh: $\left ( \frac{5}{7} \right )^{3}\ =\ \frac{5^{3}}{7^{3}}$
d. $\left ( a\ \times \ b \right )^{m}\ =\ a^{m}\ \times \ b^{m}$
e. $\left ( a^{m} \right )^{n}\ =\ \left ( a^{n} \right )^{m}\ =\ a^{m\times n}$
f. $ka^{m}\ \times \ lb^{n}\ =\ \left ( k\ \times \ l \right )\ \times \ \left ( a^{m}\ \times \ a^{n} \right )$ dengan k dan l bilangan real
Contoh: $2\left (4 \right )^{2}\ \times \ 3\left (5 \right )^{3}\ =\ \left ( 2\ \times \ 3 \right )\ \times \ \left ( 4^{2}\ \times \ 5^{3} \right )$
g. $\frac{ka^{m}}{lb^{n}}\ =\ \frac{k}{l}\ \times \ \frac{a^{m}}{b^{n}}$ dengan b $\neq $ 0 dan l $\neq $ 0
h. $a^{0}\ =\ 1$
i. $\left (\frac{1}{a} \right )^{n}\ =\ \frac{1}{a^{n}}\ =\ a^{-n}$
Pangkat bentuk aljabar
a. $\left ( a\ +\ b \right )^{2}\ =\ a^{2}\ +\ 2ab\ +\ b^{2}$
b. $\left ( a\ -\ b \right )^{2}\ =\ a^{2}\ -\ 2ab\ +\ b^{2}$
c. $\left ( a\ +\ b \right )^{3}\ =\ a^{3}\ +\ 3a^{2}b\ +\ 3ab^{2}\ +\ b^{3}$
d. $\left ( a\ -\ b \right )^{3}\ =\ a^{3}\ -\ 3a^{2}b\ +\ 3ab^{2}\ -\ b^{3}$
Akar
Akar yakni kebalikan dari pangkat. Notasi: $\sqrt[n]{\ \ \ }$ dengan n bilangan bulat.
$\sqrt[n]{a\ }$ dibaca akar pangkat n dari a, dengan a disebut radikan dan n disebut pangkat dari akar. Khusus untuk n = 2, $\sqrt[2]{\ \ \ }$ ditulis $\sqrt{\ \ \ }$ dan dibaca akar kuadrat.
Logaritma
Misalkan berlaku $a^{c}\ =\ b$. Diperoleh logaritma dengan notasi: $_{}^{a}\textrm{log}\ b=c$
Keterangan:
$a$ = bilangan pokok atau baris (a>0 dan a$\neq $1)
$b$ = numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya (b>0)
$c$ = hasil logaritma
Jika $a$ = 10, $_{}^{a}\textrm{log}\ b$ ditulis $\textrm{log}\ b$ saja.
Sifat-sifat logaritma
Berikut sifat-sifat yang dipakai dalam menyelesaikan soal logaritma:
a. $_{}^{a}\textrm{log}\ \left ( fg \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ f\ +\ _{}^{a}\textrm{log}\ g $
b. $_{}^{a}\textrm{log}\ \left ( \frac{f}{g} \right )\ =\ _{}^{a}\textrm{log}\ f\ -\ _{}^{a}\textrm{log}\ g$
c. $_{}^{a}\textrm{log}\ b\ =\ \frac{1}{_{}^{b}\textrm{log}\ a}$
d. $_{}^{a}\textrm{log}\ b=\frac{_{}^{c}\textrm{log}\ a}{_{}^{c}\textrm{log}\ b}$
e. $_{}^{a}\textrm{log}\ b^{n} = n\ \times \ _{}^{a}\textrm{log}\ b$
f. $a\ _{}^{a}\textrm{log}\ b^{n}\ =\ \frac{n}{m}\ \times \ _{}^{a}\textrm{log}\ b$
g. $a^{_{}^{a}\textrm{log}\ b} =\ b$
Barisan dan Deret
Pola bilangan
Pola bilangan yakni bilangan-bilangan yang disusun membentuk hukum tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring). Contoh: pola bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, 9, ...; pola bilangan genap 2, 4, 6, 8, ...; pola bilangan segitiga 1, 3, 6, 10, ...; dll.
Barisan dan Deret
Barisan bilangan yakni susunan atau urutan bilangan terbuat menurut pola atau hukum tertentu. Bilangan pada suatu barisan disebut suku. Penulisan barisan: $U_{1},\ U_{2},\ U_{3},\ ...,\ U_{n}$. $U_{1}$ = suku ke-1, $U_{2}$ = suku ke-2, ..., $U_{n}$ = suku ke-n.
Deret yakni penjumlahan berurut dari suku-suku barisan bilangan. Penulisan deret: $U_{1}\ +\ U_{2}\ +\ U_{3}\ +\ ...\ +\ U_{n}$
Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika yakni barisan yang memiliki selisih antardua suku berurutannya sama. Selisih antara dua suku yang berurutan disebut beda, dirumuskan dengan $b\ =\ U_{n}\ -\ U_{n-1}$.
Suku pertama suatu barisan dinotasikan a. Bentuk biasa barisan aritmetika: a, a + b, a + 2b, a + 3b, ...
Contoh: barisan bilangan genap 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
Suku pertamanya a = 2, beda = 2.
Suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan dengan $U_{n}\ =\ a\ +\ b\left ( n\ -\ 1 \right )$
Suku tengah barisan aritmetika jikalau n ganjil dirumuskan $U_{t}\ =\ \frac{1}{2}\left ( U_{1}\ +\ U_{n} \right )$, $U_{t}$ = suku tengah dan $U_{n}$ = suku terakhir barisan aritmetika.
Di antara dua bilangan real yang berlainan x dan y sanggup disisipkan k buah bilangan, sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk suatu barisan aritmetika. Misalkan beda antara dua suku yang berurutan dari barisan aritmetika yang terbentuk yakni b, barisan aritmetika tersebut adalah:
x, (x + b), (x + 2b), (x + 3b), ..., (x + kb), y
Beda barisan aritmetika yang terbentuk sanggup kita tentukan dengan menggunakan rumus: $b\ =\ \frac{y\ -\ x}{k\ +\ 1}$
Deret Aritmetika
Deret aritmetika yakni penjumlahan berurut suku-suku suatu barisan aritmetika. Bentuk umum: a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n - 1)b). Jumlah n suku pertama dirumuskan dengan:
$S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left [ 2a\ +\ b\left ( n\ -\ 1 \right ) \right ]$ atau $S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( a\ +\ U_{n} \right )$
Rumus suku ke-n jikalau $S_{n}$ dimengerti yakni $U_{n}\ =\ S_{n}\ -\ S_{n-1}$
Barisan Geometri
Barisan geometri yakni barisan dengan perbandingan atau rasio antara dua suku yang berurutan tetap. Rumus suku ke-n barisan geometri yakni $U_{n}\ =\ ar^{n-1}$ dengan $a$ = suku pertama dan $r\ =\ \frac{U_{n}}{U_{n-1}}$.
Rumus suku tengah barisan geometri jikalau n ganjil yakni $U_{t}\ =\ \sqrt{U_{1}\ \times \ U_{n}}$, dengan $U_{t}$ = suku tengah dan $U_{n}$ = suku terakhir.
Di antara dua bilangan real yang berlainan x dan y sanggup disisipkan k buah bilangan, sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk suatu barisan geometri. Misalkan rasio antara dua suku yang berurutan dari barisan geometri yang terbentuk yakni r, barisan geometri tersebut adalah:
$x,\ xr,\ xr^{2},\ xr^{3},\ ...,\ xr^{k},\ y$
Rasio dari barisan geometri yang terbentuk sanggup kita tentukan dengan menggunakan rumus: $r\ =\ \sqrt[k+1]{\frac{y}{x}\ }$
Deret Geometri
Deret geometri ialah penjumlahan berurut suku-suku suatu barisan geometri. Jumlah n suku pertama deret geometri dirumuskan dengan $S_{n}\ =\ \frac{a\left ( 1\ -\ r^{n} \right )}{1\ -\ r}$ untuk r $<$ 1 atau $S_{n}\ =\ \frac{a\left (r^{n}\ -\ 1 \right )}{r\ -\ 1}$
Rumus suku ke-n jikalau $S_{n}$ dimengerti yakni $U_{n}\ =\ S_{n}\ -\ S_{n-1}$
Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri $U_{1}\ +\ U_{2}\ +\ U_{3}\ +\ ...\ +\ U_{n}$ disebut deret geometri tak berhingga jikalau n mendekati tak berhingga. Dengan kata lain, deret geometri disebut deret geometri tak berhingga jikalau banyaknya suku deret geometri tersebut bertambah terus mendekati tak berhingga.
Jumlah deret geometri tak berhingga:
1. Jika -1 $<$ r $<$ 1 maka $\lim_{n\rightarrow \infty }\ rn\ =\ 0$ sehingga diperoleh $\lim_{n\rightarrow \infty }\ S_{n}\ =\ \frac{a}{1-r}$. Deret geometri tak berhingga yang demikian ini dibilang konvergen.
2. Jika r $<$ -1 atau r $>$ 1 maka $\lim_{n\rightarrow \infty }\ rn\ =\ \pm \infty $ sehingga $S_{n}\ =\ \pm \infty$. Deret geometri tak berhingga yang demikian ini dibilang divergen.
Limit jumlah deret geometri tak berhingga yakni biasanya dilambangkan dengan S. Misalkan dimengerti deret geometri tak berhingga $a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ ...$ maka jumlah suku-suku ganjil yakni $a\ +\ ar^{2}\ +\ ar^{4}\ +\ ...$ yang ialah suatu deret geometri tak berhingga dengan $U_{1}\ =\ a$ dan rasio $r^{2}$, sehingga diperoleh rumus:
$S_{ganjil}\ =\ \frac{a}{1\ -\ r^{2}} $
Sedangkan jumlah suku-suku genapnya yakni $ar\ +\ ar^{3}\ +\ ar^{5}\ +\ ...$ yang ialah suatu deret geometri tak berhingga dengan $U_{1}\ =\ ar$ dan rasio $r^{2}$, sehingga diperoleh rumus:
$S_{genap}\ =\ \frac{ar}{1\ -\ r^{2}} $
Dari rumus jumlah suku-suku ganjil dan jumlah suku-suku genap deret geometri tak berhingga dengan diperoleh hubungan: $\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}\ =\ r$
Notasi Sigma
Pengertian notasi sigma
Secara biasa kita sanggup menyatakan penjumlahan suatu bilangan dengan menggunakan notasi sigma selaku berikut.
$U_{1}\ +\ U_{2}\ +\ U_{3}\ +\ ...\ +\ U_{n}\ -\ 1\ +\ U_{n}\ =\ \sum_{k=1}^{n}\ U_{k}$
Jika batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya n, maka penjumlahan tersebut dari n suku, sedangkan jikalau bats bawah penjumlahan r dan batas atasnya n, maka penjumlahan tersebut berisikan $n\ -\ r\ +\ 1$.
Sifat-sifat notasi sigma
Sifat 1: $\sum_{i=1}^{n}\ U_{i}\ =\ \sum_{j=1}^{n}\ U_{j}$
Sifat 2: $\sum_{j=1}^{n}\ k\ =\ nk$ dengan $k$ suatu konstanta
Sifat 3: $\sum_{j=1}^{n}\ ka_{i}\ =\ k\ \sum_{j=1}^{n}\ a_{i}$ dengan $k$ suatu konstanta
Sifat 4: $\sum_{n=1}^{n}\ \left ( a_{i}\ \pm\ b_{i} \right )\ =\ \sum_{n=1}^{n}\ a_{i}\ \pm\ \sum_{n=1}^{n}\ b_{i}$
Sifat 5: $\sum_{i=1}^{m}\ a_{i}\ +\ \sum_{i=m+1}^{n}\ a_{i}\ =\ \sum_{i=1}^{n}\ a_{i}$
Sifat 6: $\sum_{i=m}^{n}\ a_{i}\ =\ \sum_{i=m+p}^{n+p}\ a_{i-p}$
Iduksi matematika
Induksi ialah proses pengambilan kesimpulan secara biasa dari beberapa hal yang khusus.
Untuk mengambarkan kebenaran dari suatu rumus / teorema / sifat yang berhubungan dengan bilangan orisinil n dengan menggunakan induksi matematika sanggup dilakukan dengan tindakan berikut.
Langkah 1: dibuktikan bahwa rumus / teorema benar untuk n = 1.
Langkah 2: andaikan rumus / teorema benar untuk n = k, dibuktikan bahwa rumus / teorema benar untuk n = k + 1.
Pengukuran
Satuan Panjang
Penggunaan satuan pengukuran panjang mesti memperhatikan objek yang hendak diukur. Sebagai rujukan jarak dua kota menggunakan satuan km, panjang kain menggunakan satuan m, dan diameter pensil menggunakan satuan mm.
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mengukur panjang satuan benda, baik menggunakan satuan baku maupun satuan tidak baku.
Berikut satuan baku panjang sesuai dengan urutannya:
km dibaca kilometer
hm dibaca hektometer
dam dibaca dekameter
m dibaca meter
dm dibaca desimeter
cm dibaca sentimeter
mm dibaca milimeter
Keterangan: Setiap turun satu tingkat dikalikan 10, setiap naik satu tingkat dibagi 10.
Hubungan satuan ukuran panjang
1 km = 10 hm = 100 dam = 1.000 m = 10.000 dm = 100.000 cm = 1.000.000 mm
Satuan ukuran panjang berikut sering dipakai di dunia internasional:
1 inch = 2,54 cm
1 kaki = 12 inch = 30,48 cm
1 yard = 3 kaki = 91,44 cm
1 mil maritim = 1.852 m
1 mil darat = 1.666 m
Satuan Luas
Satuan pengukuran luas yang sering dipakai yakni $m^{2}$, $km^{2}$, dan hektare. Pengukuran luas rumah atau bangunan menggunakan satuan $m^{2}$, pengukuran luas lahan pertanian atau perkebunan menggunakan satuan $km^{2}$ atau hektare.
Penulisan satuan ukuran luas sanggup menggunakan satuan panjang bentuk persegi yakni menuliskan pangkat dua dibelakang satuan panjang.
Berikut satuan luas menurut urutannya:
| Satuan Persegi | Satuan Are |
|---|---|
| $km^{2}$ | $ka$ (kiloare) |
| $hm^{2}$ | $ha$ (hektoare / hektare) |
| $dam^{2}$ | $daa$ (dekaare / dekare) |
| $m^{2}$ | $a$ (are) |
| $dm^{2}$ | $da$ (desiare) |
| $cm^{2}$ | $ca$ (sentiare) |
| $mm^{2}$ | $ma$ (miliare) |
| Ket: setiap turun satu tingkat dikalikan 100 dan setiap naik satu tingkat dibagi 100 | Ket: setiap turun satu tingkat dikalikan 10 dan setiap naik satu tingkat dibagi 10 |
Hubungan satuan ukuran luas
1 $m^{2}$ = 1 $ca$
1 $dam^{2}$ = 1 $a$ = 100 $ca$
1 $hm^{2}$ = 1 $ha$ = 100 $a$
1 $km^{2}$ = 100 $hm^{2}$ = 10.000 $dam^{2}$ = 1.000.000 $m^{2}$ = 100.000.000 $dm^{2}$ = 10.000.000.000 $cm^{2}$ = 100.000.000.000 $mm^{2}$
Satuan Volume
Ukuran volume yang sering dipakai ada dua yakni kubik dan liter. Kubik dipakai untuk satuan benda padat menyerupai kayu, pasir, dan batu. Liter untuk satuan benda cair menyerupai air, minyak tanah, minyak goreng, dan bensin.
Penulisan satuan ukuran isi / volume sanggup menggunakan satuan panjang bentuk kubik yakni menuliskan pangkat tiga dibelakang satuan panjang.
Berikut satuan volume menurut urutannya:
| Satuan Kubik | Satuan Liter |
|---|---|
| $km^{3}$ | $kl$ (kiloliter) |
| $hm^{3}$ | $hl$ (hektoliter) |
| $dam^{3}$ | $dal$ (dekaliter) |
| $m^{3}$ | $l$ (liter) |
| $dm^{3}$ | $dl$ (desiliter) |
| $cm^{3}$ | $cl$ (sentiliter) |
| $mm^{3}$ | $ml$ (mililiter) |
| Ket: setiap turun satu tingkat dikalikan 1.000 dan setiap naik satu tingkat dibagi 1.000 | Ket: setiap turun satu tingkat dikalikan 10 dan setiap naik satu tingkat dibagi 10 |
Hubungan satuan ukuran volume
1 $dm^{3}$ = 1 $l$
1 $m^{3}$ = 1 $kl$
1 $cm^{3}$ = 1 $ml$ = 1 $cc$
1 $m^{3}$ = 1.000 $dm^{3}$ = 1.000.000 $cm^{3}$ = 1.000.000.000 $mm^{3}$
Satuan Berat
Penggunaan satuan ukuran berat mesti memperhatikan objek yang diukur. Pengukuran berat emas menggunakan satuan gram. Pengukuran berat benda yang sering dipakai dalam jual beli yakni kilogram, ton, dan kuintal.
Berikut satuan berat menurut urutannya:
| Satuan Berat | Cara Baca |
|---|---|
| $kg$ | kilogram |
| $hm$ | hektogram |
| $dam$ | dekagram |
| $g$ | gram |
| $dg$ | desigram |
| $cg$ | sentigram |
| $mg$ | miligram |
Keterangan: setiap turun satu tingkat dikalikan 10 dan setiap naik satu tingkat dibagi 10.
Hubungan satuan ukuran berat
1 ton = 10 kuintal
1 ton = 1.000 kg
1 kuintal = 100 kg
1 kg = 10 hg
1 kg = 10 ons
1 hg = 1 ons
1 kg = 2 pon
1 pon = 5 ons
Satuan ukuran berat berikut sering dipakai di dunia internasional:
1 ounce = 28,35 gram
1 pound = 16 ounce = 453 gram.
Satuan waktu
Satuan waktu dipakai untuk mengukur usang suatu kegiatan. Ada banyak satuan waktu yang sering digunakan, dari satuan yang paling besar (abad) hingga satuan yang terkecil (detik).
Berikut ini korelasi satuan ukuran waktu yang dimengerti dan sering dipakai di Indonesia.
| 1 era = 100 tahun | 1 tahun 365 hari atau 366 hari |
| 1 era = 10 dasawarsa | 1 bulan = 30 hari |
| 1 dasawarsa = 10 tahun | 1 ahad = 7 hari |
| 1 windu = 8 tahun | 1 hari = 7 hari |
| 1 lustrum = 5 tahun | 1 jam = 60 menit |
| 1 tahun = 12 bulan | 1 menit = 60 detik |
| 1 tahun = 52 minggu | 1 jam = 3.600 detik |
Satuan Kuantitas
Satuan ukuran kuantitas yang sering dipakai di Indonesia yakni rim, kodi, gros, dan lusin. Satuan ukuran jumlah / kuantitas berikut biasa dipakai dalam perdagangan:
1 rim = 500 lembar
1 kodi = 20 helai (lembar)
1 lusin = 12 biji (buah)
1 gross = 12 lusin (dosin)
1 gross = 144 buah
Pengukuran Suhu
Alat yang dipakai untuk mengukur suhu yakni termometer. Ada 3 macam termometer yang biasa dipelajari yaitu:
- Celcius (C)
- Reamur (R)
- Fahrenheit (F)
Perbandingan suhu antara termometer celcius, reamur, dan fahrenheit adalh selaku berikut:
$^{\circ }$C : $^{\circ }$R : $^{\circ }$F = 5 : 4 : (+32$^{\circ }$)
Rumus Kecepatan
Kecepatan diartikan selaku jarak yang ditempuh per satuan waktu. Sebagai ilustrasi, Frans yang berlari sejauh 250 meter selama 1 menit bermakna kecepatan lari Frans 250 meter/menit.
Ada beberapa satuan kecepatan yang sering dipakai yakni km/jam, m/detik, dan cm/detik.
$\text{kecepatan}\ =\ \frac{\text{jarak}}{\text{waktu}}$
$\text{jarak}\ =\ \text{kecepatan}\ \times \ \text{waktu}$
$\text{waktu}\ =\ \frac{\text{jarak}}{\text{kecepatan}}$
Rumus Debit
Debit yakni banyaknya zat cair yang mengalir dalam saktu tertentu. Satuan debit antara lain m$^{3}$/detik, cm$^{3}$/detik, atau liter/detik.
$\text{debit}\ =\ \frac{\text{volume}}{\text{waktu}}$
$\text{volume}\ =\ \text{debit}\ \times \ \text{waktu}$
$\text{waktu}\ =\ \frac{\text{volume}}{\text{debit}}$
Aljabar
Bentuk Aljabar
Pengerjaan hitung bentuk aljabar
Pengerjaan hitung pada bentuk aljabar yakni suatu bentuk kalimat matematika yang melibatkan angka (konstanta), aksara (variabel), koefisien, dan operasi hitung.
Contoh: 3p$^{2}$ + 2q - 7
konstantanya -7; variabelnya p$^{2}$ dan q; koefisien p$^{2}$ yakni 3 dan koefisien q adalh 2; operasi hitungnya + dan -.
Penjumlahan dan penghematan bentuk aljabar cuma sanggup dilakukan terhadap suku-suku yang sejenis yakni suku yang memiliki variabel sama.
Perkalian suatu konstanta dengan suku dua menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan. Bentuk biasanya yaitu: p(q + r) = pq + pr dan p(q - r) = pq - pr.
Pembagian dan pemangkatan bentuk aljabar sama menyerupai pembagian bilangan bulat.
Rumus Perbandingan
Perbandingan yakni membandingkan suatu besaran dengan besaran lain yang sejenis. Misalnya besaran berat ketimbang besaran berat, besaran panjang ketimbang besaran panjang, dan besaran volume ketimbang besaran volume.
Suatu perbandingan sanggup dinyatakan dengan m : n atau $\frac{m}{n}$ dengan m, n bilangan bulat.
Perbandingan senilai
Dua besaran dibilang memiliki perbandingan senilai jikalau bertambahnya besaran yang satu dibarengi bertambahnya besaran lainnya dan berkurangnya besaran yang satu dibarengi berkurangnya besaran yang lain.
Contoh:
Dua liter bensin sanggup dipakai untuk menempuh jarak 70 km. Tentukan bensin yang diinginkan untuk menempuh jarak 210 km.
Jawaban:
2 liter $\Rightarrow $ 70 km
x $\Rightarrow $ 210 km
$\frac{2}{x}\ =\ \frac{70}{210}\ \Leftrightarrow \ x\ =\ \frac{2\ \times \ 210}{70}\ =\ 6$
Jadi, bensin yang diinginkan untuk menempuh jarak 210 km yakni 6 liter.
Perbandingan terbalik
Perbandingan berbalik nilai yakni perbandingan dua besaran yang nilainya saling berkebalikan. Artinya, jikalau besaran yang satu bertambah maka besaran lainnya menyusut dan sebaliknya. Misalnya perbandingan antara kecepatan kendaraan dengan waktu yang diinginkan untuk menempuh jarak tertentu. Semakin besar kecepatannya maka waktu yang diinginkan kian sedikit.
Contoh:
Satu kardus buku dibagikan terhadap 8 anak dan setiap anak memperoleh 3 buku. Jika dibagikan terhadap 6 anak, tentukan banyak buku yang diterima setiap anak.
Jawaban:
8 anak $\Rightarrow $ 3 buku
6 anak $\Rightarrow $ x
$\frac{8}{6}\ =\ \frac{x}{3}\ \Leftrightarrow \ x\ =\ \frac{8\ \times \ 3}{6}\ =\ 4$
Jadi, jikalau buku dibagikan terhadap 6 anak maka setiap anak memperoleh 4 buku.
Rumus Skala
Skala yakni perbandingan antara ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Rumus skala yaitu:
$\text{skala}\ =\ \frac{\text{ukuran pada gambar}}{\text{ukuran sebenarnya}}$
$\text{ukuran pada gambar}\ =\ \text{skala}\ \times \ \text{ukuran sebenarnya}$
$\text{ukuran sebenarnya}\ =\ \frac{\text{ukuran pada gambar}}{\text{skala}}$
Skala 1 : n (dengan n bilangan bulat) bermakna setiap 1 cm ukuran pada gambar mewakili n cm ukuran sebenarnya.
Himpunan
Mengenal himpunan
Himpunan yakni sekumpulan benda atau objek yang memiliki ciri atau syarat yang jelas. Pada biasanya himpunan dinamai dengan aksara kapital A, B, C, dan sebagainya. Himpunan dilambangkan dengan kurung kurawal $\left \{ \ \right \}$.
Setiap benda atau objek yang berada dalam syarat himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota himpunan. Anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Anggota himpunan dilambangkan dengan $\in $. Bukan anggota himpunan dilambangkan dengan $\notin $. Dalam suatu himpunan, setiap anggotanya berbeda, anggota yang serupa cukup ditulis satu kali. Banyak himpunan A ditulis $n(a)$.
Suatu himpunan sanggup dinyatakan dengan 3 cara, yaitu:
- Dengan kata-kata (metode deskripsi), yakni dengan menyebutkan syarat-syarat keanggotaan yang ditulis di dalam kurawal tanpa menggunakan simbol.
- Dengan mendaftar anggotanya (metode tabulasi), yakni dengan menuliskan anggota himpunan dalam kurung kurawal.
- Dengan notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat), yakni anggota himpunan dilambangkan dengan aksara kecil yang dibarengi dengan garis tegak dan syarat keanggotaannya.
Diagram venn dan himpunan bagian
Himpunan semesta (himpunan semesta pembicaraan) yakni himpunan yang menampung seluruh objek atau anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S.
Diagram venn ialah cara untuk menggambarkan (menunjukkan) suatu himpunan dengan gambar atau diagram.
Aturan penggunaan diagram venn selaku berikut:
- Himpunan semesta digambarkan dengan persegi panjang dan diberi simbol S pada sudut kiri atas.
- Setiap anggota himpunan S digambarkan dengan noktah dan objeknya di dalam persegi panjang tersebut.
- Himpunan bab dari S yang dibicarakan digambarkan dengan lingkaran atau kurva tertutup yang menampung noktah dan objek tertentu.
Himpunan A dibilang himpunan bab dari himpunan B jikalau semua anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B, ditulis $A\ \subset \ B$ (dibaca A himpunan bab B atau A subset B). Jika ada anggota himpunan A yang tidak menjadi anggota himpunan B maka himpunan A bukan himpunan bab B.
Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis
Bentuk biasa persamaan garis lurus yaitu:
- $y\ =\ mx\ +\ c$ dengan gradien m dan memotong sumbu Y di $\left ( 0,\ c \right )$
- $ax\ +\ by\ +\ c\ =\ 0$ dengan $m\ =\ -\frac{a}{b}$ dan memotong sumbu Y di $\left ( 0,\ -\frac{c}{b} \right )$
Persamaan garis yang lewat dua titik $A\left ( x_{1},\ y_{1} \right )$ dan $B\left ( x_{2},\ y_{2} \right )$ adalah
$\frac{y\ -\ y_{1}}{y_{2}\ -\ y_{1}}\ =\ \frac{x\ -\ x_{1}}{x_{2}\ -\ x_{1}}$
Gradien
Gradien yakni angka (nilai) yang menyediakan besar dan arah kemiringan garis. Gradien ialah perbandingan antara komponen y dan komponen x.
Garis yang cenderung ke kanan menyediakan $m > 0$ dan garis yang cenderung ke kiri menyediakan $m < 0$.
Gradien garis yang sejajar sumbu X yakni m = 0. Gradien garis yang sejajar sumbu Y yakni m = $\infty $ (tak terdefinisi)
Dua garis yang sejajar memiliki gradien sama, yakni $m_{1}\ =\ m_{2}$. Jika dua garis saling tegak lurus maka $m_{1}\ \times \ m_{2}\ =\ -1$.
Gradien garis yang lewat titik $O\left ( 0,\ 0 \right )$ dan $A\left ( x,\ y \right )$ yakni $m\ =\ \frac{y}{x}$.
Gradien garis yang lewat titik $P\left ( x_{1},\ y_{1} \right )$ dan $Q\left ( x_{2},\ y_{2} \right )$ yakni $m\ =\ \frac{y_{2}\ -\ y_{1}}{x_{2}\ -\ x_{1}}$.
Aritmetika Sosial
Nilai barang
Nilai keseluruhan yakni jumlah nilai seluruh barang. Nilai keseluruhan = jumlah barang x harga 1 unit barang.
Nilai sebagian yakni jumlah nilai sebagian barang. Nilai sebagian = banyak sebagian barang x harga 1 unit barang.
Nilai per unit yakni nilai dari setiap satuan barang. Nilai per unit = harga keseluruhan : jumlah seluruh barang.
Persentase dalam bidang ekonomi
Harga pembelian (Hb) atau modal yakni nilai sejumlah duit untuk berbelanja barang. Harga pemasaran (Hj) yakni duit yang diterima dari hasil memasarkan barang.
Keuntungan (U) diperoleh apabila Hb kurang dari Hj.
U = Hj - Hb
Persentase laba $=\ \frac{U}{Hb}\ \times \ 100%$
Kerugian (R) diderita apabila Hb lebih dari Hj.
R = Hb - Hj
Persentase kerugian $=\ \frac{R}{Hb}\ \times \ 100%$
Bruto bermakna berat kotor. Neto bermakna berat bersih. Tara (potongan jumlah / berat) yakni potongan jumlah / berat barang alasannya yakni adanya berat pembungkus (kemasan).
Tara = bruto - neto
Persentase tara $=\ \frac{Tara}{Bruto}\ \times \ 100%$
Rabat yakni diskon yang diberikan terhadap pembeli alasannya yakni berbelanja barang dalam jumlah banyak (banyak).
Pajak dan Bunga Tunggal
Pajak Penghasilan (PPh)
Hal-hal yang dikenai PPh antara lain gaji, upah, honorarium, tunjangan, dan hadiah.
Pajak Pertambahan Nilai (PPN) dan Pajak Penjualan Atas Barang Mewah (PPnBM)
Hal-hal yang dikenai PPN dan PPnBM yakni barang hasil olahan, barang impor, dan jasa-jasa tertentu.
Setiap pemasaran atau pembelian barang dikenai PPN. PPnBM dikenakan pada pemasaran atau pembelian barang mewah. Tarif PPN yakni 10%, sedangkan tarif PPnBM yakni 10% hingga dengan 200%.
Pajak Bumi dan Bangunan (PBB)
Hal-hal yang dikenai PBB yakni tanah dan bangunan yang ada di atasnya (rmah). Di Indonesia, PBB dikenakan pada tanah dan bangunan yang memiliki nilai di atas Rp12.000.000,00, sedangkan harga 12 juta ruoiah ke bawah tidak dikenai PBB.
Besar PBB 0,5% dari 20% harga yang dikenai pajak untuk tanah dan bangunan yang nilainya kurang dari 1 miliar.
Besar PBB 0,5% dari 40% harga yang dikenai pajak untuk tanah dan bangunan yang nilainya lebih dari 1 miliar.
Bunga yakni imbalan jasa untuk penyimpanan uang. Apabila simpanan / modal (M) rupiah ditabung di bank dan memperoleh bunga p% per tahun maka:
Besar bunga per tahun $=\ p%\ \times \ M$
Besar bunga n bulan $=\ \frac{n}{12}\ \times \ p%\ \times \ M$
Persamaan Kuadrat
Bentuk biasa $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c\ =\ 0$ dengan a, b, dan c bilangan real serta a $\neq $ 0.
Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Nilai x yang menyanggupi persamaan kuadrat dinamakan solusi atau akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar persamaan kuadrat sanggup diputuskan dengan beberapa cara berikut:
Memfaktorkan, yakni difaktorkan menjadi $\left ( x\ +\ p \right )\ \left ( x\ +\ q \right )\ =\ 0$
Melengkapkan bentuk kuadrat, yakni diubah menjadi bentuk kuadrat tepat $\left ( x\ +\ p \right )^{2}\ =\ q$
Menggunakan rumus ABC, yakni $x\ =\ \frac{-b\ \pm\ \sqrt{b^{2}\ -\ 4ac} }{2a}$
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c\ =\ 0$ sanggup dilihat dari nilai diskriminannya yakni $D\ =\ b^{2}\ -\ 4ac$
- D $>$ 0 bermakna persamaan kuadrat memiliki dua akar real.
- D = 0 bermakna persamaan kuadrat memiliki satu akar real.
- D $<$ 0 bermakna persamaan kuadrat tidak punya akar real.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c\ =\ 0$, maka:
- Jumlah akar-akarnya: $x_{1}\ +\ x_{2}\ =\ -\frac{b}{a}$
- Hasil kali akar-akarnya: $x_{1}\ \times \ x_{2}\ =\ \frac{c}{a}$
Menentukan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah:
$\left ( x\ -\ x_{1} \right )\left ( x\ -\ x_{2} \right )\ =\ 0$ atau $x^{2}\ -\ \left ( x_{1}\ +\ x_{2} \right )x\ +\ \left ( x_{1}\ \times \ x_{2} \right )\ =\ 0$
Suku Banyak
Bentuk biasa suku banyak
-
Bentuk biasa suku banyak dalam variabel x dan berderajat n yaitu:
$a_{n}x^{n}\ +\ a_{n-1}x^{n-1}\ +\ ...\ +\ a_{1}x\ +\ a_{0}$
Keterangan:
$a_{n},\ a_{n-1},\ ...,\ a_{1},\ a_{0}$ yakni koefisien dengan $a_{n}$ bilangan-bilangan real dan $a_{n}\ \neq \ 0$
$a_{n}$ koefisien $x^{n}$, $a_{n-1}$ koefisien $x^{n-1}$, dan seterusnya, sedangkan $a_{0}$ suku tetap.
$n$ bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak. -
Derajat suku banyak yakni pangkat tertinggi dari variabel x yang ada dalam suku banyak tersebut.
Contoh: derajat dari suku banyak $6x^{7}\ +\ x^{4}\ -\ 2x^{3}\ +\ 9x\ + 6\ =\ 0$ yakni 7.
-
Nilai suku banyak untuk x tertentu, misalnya $x\ =\ c$, dicari dengan memasukkan (substitusi) $c$ pada suku banyak tersebut. Secara umum, nilai suku banyak tersebut:
$F\left ( c \right )\ =\ a_{n}c^{n}\ +\ a_{n-1}c^{n-1}\ +\ ...\ +\ a_{1}c\ +\ a_{0}$
-
Misalkan terdapat suku banyak $F\left ( x \right )\ =\ a_{n}x^{n}\ +\ a_{n-1}x^{n-1}\ +\ ...\ +\ a_{1}x\ +\ a_{0}$. Nilai $x\ =\ c$ (dapat pula ditulis selaku $x\ -\ c$) disebut akar suku banyak $F\left ( x \right )$ jikalau nilai x menyanggupi korelasi $F\left ( c \right )\ =\ a_{n}c^{n}\ +\ a_{n-1}c^{n-1}\ +\ ...\ +\ a_{1}c\ +\ a_{0}\ =\ 0$.
Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak
- Suku banyak sanggup dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan koefisien-koefisien dari suku sejenis.
- Operasi perkalian dua atau lebih suku banyak dilakukan dengan mengalikan koefisien dan suku dari suku banyak tersebut.
Pembagian suku banyak
- Pembagian suku banyak $P\left ( x \right )$ oleh bentuk $\left ( x\ -\ k \right )$ dinotasikan dengan $P\left ( x \right )\ =\ \left ( x\ -\ k \right )\ H\left ( x \right )\ +\ S$, dimana $H\left ( x \right )$ yakni hasil bagi sedangkan $S$ yakni sisa pembagian. Metode ini disebut sistem Horner atau sistem sintetik.
Teorema sisa pada pembagian suku banyak dinyatakan dalam dua teorema berikut:
Teorema 1: jikalau suku banyak $K\left ( x \right )$ dibagi dengan $\left ( x\ -\ c \right )$ maka sisa pembagiannya $S\ =\ K\left ( c \right )$.
Teorema 2: jikalau suku banyak $K\left ( x \right )$ dibagi dengan $\left ( ax\ +\ b \right )$ maka sisa pembagiannya $S\ =\ K\left ( -\frac{b}{a} \right )$.
Misalkan suku banyak $K\left ( x \right )$ dibagi dengan $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c$ dengan $ax^{2}\ +\ bx\ +\ c$ sanggup difaktorkan menjadi $\left ( x\ -\ d \right )\left ( x\ -\ e \right )$ maka sisa pembagiannya $S\left ( x \right )\ =\ px\ +\ q$ dengan $p\ =\ \frac{f\left ( d \right )\ -\ f\left ( e \right )}{d\ -\ e}$ dan $q\ =\ \frac{dF\left ( e \right )\ -\ eF\left ( d \right )}{d\ -\ e}$.
Program Linear
Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari sanggup diubah menjadi suatu versi matematika. Adapun jadwal linear ialah cara menyeleksi nilai optimum dari versi matematika yang terdiri atas beberapa pertidaksamaan linear. Nilai optimum dungsi objektif sanggup diputuskan menggunakan dua sistem yakni sistem uji titik pojok dan sistem garis selidik.
Metode uji titik pojok
Langkah-langkah menyeleksi nilai optimum fungsi objektif selaku berikut:
- Gambar tempat yang menyanggupi Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
- Tentukan titik-titik pojok yang menyanggupi SPtLDV
- Substitusi titik-titik pojok ke fungsi objektif sehingga diperoleh nilai optimum
Metode garis selidik
- Gambar tempat yang menyanggupi SPtLDV
- Gambar garis selidik fungsi objektif yang lewat titik pojok pada tempat penyelesaian. Jika fungsi objektif yang hendak dioptimumkan $f\left ( x,y \right )\ =\ ax\ +\ by$ maka persamaan garis selidik yang dipakai $ax\ +\ by\ =\ k$. Pilihlah $k\ =\ ab$ agar sobat lebih gampang menggambarnya.
- Tentukan nilai optimum fungsi objektif dengan ketentuan selaku berikut:
Gradien Garis Selidik Ketentuan Nilai Fungsi Objektif Negatif titik yang dilalui garis selidik paling kiri minimum titik yang dilalui garis selidik paling kanan maksimum Positif titik yang dilalui garis selidik paling kiri maksimum titik yang dilalui garis selidik paling kanan minimum
Materi lain ihwal jadwal linear sudah saya ulas lewat postingan Penyelesaian Program Linear.
Matriks
Pengertian, notasi, dan ordo matriks
Matriks yakni susunan beberapa bilangan dalam bentuk persegi panjang, yang dikontrol menurut baris dan kolom. Setiap bilangan disebut elemen matriks.
Suatu matriks biasanya dilambangkan atau dinotasikan dengan aksara kapital, sedangkan elemennya berupa aksara kecil.
Matriks memiliki ukuran yang bermacam-macam besarnya. Ukuran matriks biasanya disebut ordo. Ordo suatu matriks diputuskan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat di dalam matriks tersebut.
Jika matriks $A$ berisikan $m$ baris dan $n$ kolom, maka matriks itu berordo $m\ \times \ n$ dan dituliskan selaku $A_{m\ \times \ n}$. Banyak elemen matriks $A$ itu sama dengan $\left ( m\ \times \ n \right )$ buah. Oleh alasannya yakni itu matriks $A$ yang berordo $m\ \times \ n$ sanggup disuguhkan selaku berikut:
$A_{m\ \times \ n}\ =\ \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& ...& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...& ...& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& ...& ...& ...& a_{mn}\end{pmatrix}$
Jenis-jenis matriks
- Matriks persegi yakni suatu matriks dengan banyak baris dan kolom sama
- Matriks baris yakni suatu matriks yang cuma terdiri atas satu baris
- Matriks kolom yakni suatu matriks yang cuma terdiri atas satu kolom
- Matriks nol (0) yakni suatu matriks yang semua elemennya 0 (nol)
- Matriks diagonal yakni suatu matriks persegi dengan semua elemennya 0 (nol), kecuali elemen diagonal utama (tidak semua nol)
- Matriks identitas (I) yakni suatu matriks dengan semua elemen diagonal utama sama dengan 1 (satu) sedangkan semua elemen lainnya sama dengan 0 (nol)
- Matriks segitiga bawah yakni suatu matriks persegi dengan semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol
- Matriks segitiga atas yakni suatu matriks persegi dengan semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol
Transpos matriks
Transpos dari matriks A yakni suatu matriks gres yang terbentuk jikalau elemen-elemen pada baris matriks $A$ ditukarkan dengan elemen-elemen pada kolomnya. Transpos matriks $A$ biasanya dinotasikan dengan $A^{'}$ atau $A^{t}$.
$A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka $A^{'}\ =\ \begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}$
$B\ =\ \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix}$ maka $B^{t}\ =\ \begin{pmatrix} a & d\\ b & e\\ c & f \end{pmatrix}$
Kesamaan dua matriks
Dua matriks A dan B dibilang sama (A = B), jikalau dan cuma jikalau ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang bersesuaian (seletak) juga sama.
Penjumlahan dua matriks
Jika A dan B yakni dua matriks yang ordonya sama, maka jumlah matriks A dan B ditulis A + B yakni matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (seletak).
Sifat-sifat penjumlahan matriks
Untuk matriks A, B, C dan matriks O yang berordo sama berlaku sifat-sifat berikut.
- Sifat komutatif, yakni A + B = B + A
- Sifat asosiatif, yakni A + (B + C) = (A + B) + C
- Terdapat unsur identitas penjumlahan matriks, yakni matriks O sedemikian rupa sehingga A + O = O + A = A
- Untuk setiap matriks A terdapat musuh matriks A, yakni -A sedemikian rupa sehingga A + (-A) = (-A) + A = O.
Contoh 1:
$A\ +\ B\ =\ \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 6 \end{pmatrix}\ +\ \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
$A\ +\ B\ =\ \begin{pmatrix} 2\ +\ \left ( -5 \right ) & 3\ +\ 3\\ 1\ +\ 1 & 6\ +\ \left ( -2 \right ) \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} -3 & 6\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
Contoh 2:
$A\ +\ \left ( -A \right )\ =\ \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 6 \end{pmatrix}\ +\ \begin{pmatrix} -2 & -3\\ -1 & -6 \end{pmatrix}\ =\ O$
Pengurangan dua matriks
Dua matriks berordo sama sanggup dikurangkan dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak, ditulis A - B = A + (-B).
Perkalian matriks dengan bilangan real
Jika $k$ yakni suatu bilangan real, dan $A$ yakni suatu matriks, maka $kA$ yakni matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks $A$ dengan $k$. Sehingga:
$kA\ =\ k\ \times \ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} ka & kb\\ kc & kd \end{pmatrix}$
Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real
Untuk setiap matrika A dan matriks B yang berordo sama, serta bilangan real k dan l, berlaku sifat-sifat berikut ini.
- Sifat 1: k(A + B) = kA + kB
- Sifat 2: (k + l)A = kA + lA
- Sifat 3: k(lA) = (kl)A
Perkalian matriks
Dua matriks sanggup dikalikan jikalau banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Perkalian matriks yakni mengalikan tiap elemen pada baris matriks sebelah kiridengan kolom matriks sebelah kanan, kemudian balasannya dijumlahkan.
Jika matriks $A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ dan $B\ =\ \begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix}$ maka perkalian A dengan B sanggup diputuskan dengan persamaan:
$AB\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} ap\ +\ br & aq\ +\ bs\\ cp\ +\ dr & cp\ +\ ds \end{pmatrix}$
Sifat-sifat perkalian matriks
- Pada biasanya perkalian matriks tidak bersifat komutatif, AB $\neq $ BA
- Perkalian matriks bersifat asosiatif, (AB)C = A(BC)
- Perkalian matriks bersifat distributif, A(B + C) = AB + AC dan (B + C)A = BA + CA
- Dalam perkalian matriks yang cuma menampung matriks-matriks persegi dengan ordo sama, terdapat unsur identitas yakni matriks satuan I sedemikian sehingga AI = IA = A
- Jika AB = O, belum pasti A = O atau B = O
- Jika AB = AC, belum pasti B = C
- Jika $A^{t}$ dan $B^{t}$ berturut-turut yakni transpos dari matriks A dan matriks B, maka berlaku korelasi $\left ( AB \right )^{t}\ =\ B^{t}A^{t}$
Pemangkatan matriks persegi
Jika A yakni matriks persegi maka $A^{2}\ =\ AA,\ A^{3}\ =\ AA^{2},\ A^{4}\ =\ AA^{3},\ ...$ dan seterusnya. Dengan demikian $A^{n}\ =\ AA^{n-1}$
Determinan matriks
Rumus determinan matriks berordo 2 x 2
Misalkan $A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ yakni matriks persegi berordo 2. Determinan matriks A yakni hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi dengan hasil elemen-elemen diagonal samping pada matriks A, yakni ad - bc.
Determinan matriks $A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ biasanya dituliskan dengan det (A) = $\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$ = ad - bc.
Rumus determinan matriks berordo 3 x 3
Jika $B\ =\ \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}$, determinan matriks B adalah:
det (B) = $\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}\begin{matrix} a & b\\ d & e\\ g & h \end{matrix}$ = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi.
Invers matriks
Misalkan A dan B ialah dua matriks persegi berordo sama. Jika matriks A dan B menyanggupi korelasi AB = BA = I maka dibilang A dan B ialah dua matriks yang saling invers. Matriks B disebut invers perkalian dari matriks A dan dinotasikan dengan $A^{-1}$. Matriks A disebut invers perkalian dari matriks B dan dinotasikan dengan $B^{-1}$
Rumus invers matriks berordo 2 x 2
Jika $A\ =\ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ invers dari matriks A adalah:
$A^{-1}\ =\ \frac{1}{det\left ( A \right )}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}\ =\ \frac{1}{ad\ -\ bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$
Dengan syarat det (A) = ad - bc $\neq $ 0. Jika det (A) = 0 atau A ialah matriks singular maka matriks A tidak punya invers.
Rumus invers matriks berordo 3 x 3
Jika $A\ = \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}$ maka invers dari matriks A adalah:
$A^{-1}\ =\ \frac{1}{det\left ( A \right )}\ Adj\left ( A \right )$
Dengan ${\normalsize det (A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi}$, dan Adjoin A yaitu:
${\normalsize Adj\left ( A \right )\ =\ \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} b & c\\ h & i \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} b & c\\ e & f \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a & c\\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c\\ d & f \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & b\\ g & h \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a & b\\ d & e \end{vmatrix} \end{pmatrix}}$
Logika
Pernyataan dan Kalimat Terbuka
Secara umum, dalam budi dipelajari dua jenis kalimat, yakni kalimat deklaratif dan kalima terbuka. Kaliamt deklaratif (disebut juga pernyataan) yakni kalimat yang sanggup bernilai benar atau salah, tetapi tidak sanggup bernilai benar-salah sekaligus.
Contoh:
a. Lima ibu kota negara Peru (bernilai benar)
b. Bilangan dua belas yakni bilangan prima (bernilai salah)
Kalimat deklaratif atau pernyataan dilambangkan dengan aksara "p", "q", atau huruf-huruf yang lain.
Kalimat terbuka yakni kalimat yang nilai kebenarannya belum niscaya alasannya yakni kalimat tersebut menampung variabel.
Ingkaran atau Negasi
Ingkaran disebut pula negasi. Misalkan suatu pernyataan bernilai benar, ingkaran dari pernyataan tersebut bernilai salah. Negasi dinyatakan dengan membubuhkan kata "tidak" atau "bukan". Simbol negasi yakni . Sebagai contoh, negasi dari p dinyatakan dengan p.
Tabel Kebenaran dan Pernyataan Majemuk
Tabel kebenaran
Pada tabel kebenaran didaftar seluruh kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan tungggal. Nilai kebenaran suatu pernyataan dinotasikan dengan aksara B (untuk menyatakan benar) dan S (untuk menyatakan salah).
Dalam logika matematika kita mengenal perumpamaan "ekuivalen". Makna ekuivalen menyerupai dengan makna sama dengan, yakni untuk menyediakan korelasi kesetaraan. Ekuivalen dinotasikan dengan $\equiv $.
Konjungsi
Konjungsi yakni kalimat bermacam-macam yang menggunakan kata hubung "dan". Misalkan pernyataan p dan q ialah pernyataan tunggal, konjungsi yang terbentuk dinotasikan "p $\wedge $ q". Kata hubung "dan" sanggup pula diganti dengan kata hubung "sedangkan" atau "tetapi".
Nilai kebenaran konjungsi selaku berikut.
| p | q | p $\wedge $ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Disjungsi
Disjungsi yakni kalimat bermacam-macam yang menggunakan kata hubung "atau". Misalkan pernyataan p dan q ialah pernyataan tunggal, disjungsi yang terbentuk dinotasikan "p $\vee $ q".
Nilai kebenaran disjungsi selaku berikut.
| p | q | p $\vee $ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Implikasi
Misalkan pernyataan p dan q ialah pernyataan tunggal, implikasi yang terbentuk ditulis "jika p maka q" atau dinotasikan dengan "p $\Rightarrow $ q".
Nilai kebenaran implikasi selaku berikut.
| p | q | p $\Rightarrow $ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Biimplikasi
Misalkan p dan q ialah pernyataan tunggal, biimplikasi yang terbentuk ditulis "p jikalau dan cuma jikalau q" atau dinotasikan dengan "p $\Leftrightarrow $ q".
Nilai kebenaran biimplikasi selaku berikut.
| p | q | p $\Leftrightarrow $ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Pernyataan bermacam-macam yang saling ekuivalen
Dua pernyataan bermacam-macam dibilang saling ekuivalen apabila nilai kebenaran kedua pernyataan tersebut sama. Contoh: p $\Leftrightarrow $ q $\equiv $ (p $\Rightarrow $ q) $\wedge $ (q $\Rightarrow $ p)
Negasi Pernyataan Majemuk
- Negasi dari pernyataan p $\wedge $ q dinotasikan dengan (p $\wedge $ q) atau (p $\wedge $ q) $\equiv $ p $\vee $ q
- Negasi dari pernyataan p $\vee $ q dinotasikan dengan (p $\vee $ q) atau (p $\vee $ q) $\equiv $ p $\wedge $ q
- Negasi dari pernyataan p $\Rightarrow $ q dinotasikan dengan (p $\Rightarrow $ q) atau (p $\Rightarrow $ q) $\equiv $ p $\wedge $ q
- Negasi dari pernyataan p $\Leftrightarrow $ q dinotasikan dengan (p $\Leftrightarrow $ q) atau (p $\Leftrightarrow $ q) $\equiv $ ((p $\wedge $ q) $\vee $ ( p $\wedge $ q))
Konvers, Invers, dan Kontraposisi Suatu Implikasi
Konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan bermacam-macam p $\Rightarrow $ q ditunjukkan oleh korelasi berikut:
- Konvers: q $\Rightarrow $ p
- Invers: p $\Rightarrow $ q
- Kontraposisi: q $\Rightarrow $ p
Pernyataan Berkuantor
Kuantor universal
Notasi kuantor universal ($\forall $) dibaca "semua", "sembarang" atau "setiap". Penulisan pernyataan berkuantor universal yakni $\forall $x, p(x) dan dibaca "semua x bersifat p(x)".
Kuantor eksistensial
Notasi kuantor eksistensial ($\exists $) dibaca "ada", "terdapat", atau "beberapa". Penulisan pernyataan berkuantor eksistensial yakni $\exists $x, p(x) dan dibaca "beberapa x bersifat p(x)".
Negasi pernyataan berkuantor
- ($\forall $x, p(x)) $\equiv $ $\exists $x, p(x)
- ($\exists $x, p(x)) $\equiv $ $\forall $x, p(x)
Penarikan Kesimpulan
Cara untuk menarik kesimpulan budi matematika selaku berikut:
Modus Ponens
Premis 1: p $\Rightarrow $ q
Premis 2: p
Kesimpulan: qModus Tollens
Premis 1: p $\Rightarrow $ q
Premis 2: q
Kesimpulan: pModus Silogisme
Premis 1: p $\Rightarrow $ q
Premis 2: q $\Rightarrow $ r
Kesimpulan: p $\Rightarrow $ r
Geometri
Bangun Datar
Rumus Keliling dan Luas Bangun Datar
Apa rumus luas lingkaran dan luas persegi?
Nah, untuk menjawabnya silahkan amati tabel berikut. Tabel menampung daftar rumus yang dipakai untuk mengkalkulasikan luas semua jenis bangkit datar, tergolong juga rumus keliling menyerupai rumus keliling lingkaran, keliling persegi, persegi panjang, dll.
| Nama Bangun Datar | Rumus Keliling | Rumus Luas |
|---|---|---|
| Persegi | K = 4 x sisi = 4s | L = sisi x sisi = s x s = $s^{2}$ |
| Persegi Panjang | K = 2p + 2l = 2(p + l) | L = p x l |
| Segitiga | K = a + b + c | L = $\frac{1}{2}$ x a x t |
| Jajargenjang | K = a + b + c + d | L = a x t |
| Belah Ketupat | K = 4 x sisi = 4 x s | L = $\frac{1}{2}\ \times \ d_{1}\ \times \ d_{2}$ |
| Layang-layang | K = a + b + c + d | L = $\frac{1}{2}\ \times \ d_{1}\ \times \ d_{2}$ |
| Trapesium | K = a + b + c + d | L = $\frac{a\ +\ b}{2}\ \times \ t$ |
| Lingkaran | K = $\pi \ \times \ d$ = $2\ \times \ \pi \ \times \ r$ | L = $\pi \ \times \ r^{2}$ = $\frac{1}{4}\ \times \ \pi \ \times \ d^{2}$ |
Keterangan: s = sisi; p = panjang; l = lebar; t = tinggi; T = tinggi; r = jari-jari; d = diameter; s = garis pelukis; $\pi$ = phi (3,14 atau 22/7)
Bangun Ruang
Rumus Luas Permukaan dan Volume Bangun Ruang
Berikut daftar rumus luas permukaan dan volume bangkit ruang.
| Nama Bangun Ruang | Rumus Luas Permukaan (LP) | Rumus Volume (Isi) |
|---|---|---|
| Kubus | LP = 6s$^{2}$ | V = s x s x s = s$^{3}$ |
| Balok | LP = 2(pl + pt + lt) | V = p x l x t |
| Prisma Segitiga | LP = 2 x L segitiga + K segitiga + T prisma | V = L segitiga x T prisma V = ($\frac{1}{2}$ x a x t) x T prisma |
| Tabung | LP = 2 x $\pi $ x r (r + t) | V = $\pi $ x r$^{2}$ x t |
| Limas | LP = L ganjal + Jumlah luas sisi tegak | V = $\frac{1}{3}$ x L ganjal x t |
| Kerucut | L Selimut = $\pi $ x r x s LP = $\pi $ x r (r + s) | V = $\frac{1}{3}$ x $\pi $ x r$^{2}$ x t |
| Bola | LP = 4 x $\pi $ x r$^{2}$ = $\pi $ x d$^{2}$ | V = $\frac{4}{3}$ x $\pi $ x r$^{3}$ = $\frac{1}{6}$ x $\pi $ x 4$^{3}$ |
Statistika
Statistika yakni ilmu mempelajari cara pengumpulan, penyajian, pengolahan, dan penarikan kesimpulan dari suatu data. Statistik yakni nilai-nilai ukuran data. Contoh statistika: mean, median, modus, nilai ukuran terkecil, nilai ukuran terbesar, dsb.
Data dibedakan menjadi dua, yaitu:
- Data kualitatif yakni data yang tidak berupa bilangan. Contoh: data jenis mata pencaharian orang bau tanah siswa, data mutu barang, dan data olahraga hobi siswa.
- Data kuantitatif yakni data yang berupa bilangan. Contoh: data tinggi tubuh siswa dan data nilai ulangan siswa.
Data sanggup disuguhkan dalam bentuk tabel, diagram (batang, garis, lingkaran, lambang/gambar/piktogram), histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Diagram biasanya dipakai untuk menyuguhkan data tunggal, sedangkan histogram, poligon frekuensi, dan ogive biasanya dipakai untuk menyuguhkan data berkelompok.
Ukuran Pemusatan Data
Data tunggal
Mean (rata-rata) yakni nilai rata-rata hitung dari sekumpulan data. Rumus rata-rata yaitu:
$\bar{X}\ =\ \frac{\text{Jumlah semua nilai data}}{\text{Banyak data}}\ =\ \frac{\sum x_{i}}{n}$
Median yakni nilai tengah dari sekumpulan data yang sudah diurutkan dari data terkecil ke paling besar atau sebaliknya.
Rumus median untuk jumlah data (n) ganjil: $M_{e}\ =\ X_{\frac{n\ +\ 1}{2}}$
Rumus median untuk jumlah data (n) genap: $M_{e}\ =\ \frac{X_{\frac{n}{2}}\ +\ X_{\frac{n}{2}\ +\ 1}}{2}$
Modus yakni data yang paling kerap muncul
Data berkelompok
Rumus Mean (rata-rata): $\bar{X}\ =\ \frac{\sum f_{i}.x_{i}}{\sum f_{i}}$
Keterangan:
$f_{i}$ = frekuensi interval kelas-i
$x_{i}$ = titik tengah interval kelas-i
Rumus Median: $M_{e}\ =\ Q_{2}\ =\ L_{2}\ +\ \left ( \frac{\frac{N}{2}\ -\ \sum f_{2}}{f_{2}} \right )\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{2}$ = tepi bawah kelas median
$f_{2}$ = frekuensi kelas median
$\sum f_{2}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas median
$N$ = jumlah data ($\sum f$)
$c$ = panjang interval kelas
Rumus Modus: $M_{o}\ =\ L_{o}\ +\ \left ( \frac{d_{1}}{d_{1}\ +\ d_{2}} \right )\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{o}$ = tepi bawah kelas modus
$d_{1}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas modus
$d_{2}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah kelas modus
$c$ = panjang interval kelas
Ukuran Letak Data
Data tunggal
Kuartil yakni ukuran yang membagi data terurut menjadi empat bab sama banyak.
Kuartil ke-i: $Q_{i}$ = datum ke-$\frac{i\left ( n\ +\ 1 \right )}{4}$ dengan $i$ = 1, 2, 3, dan $n$ = ukuran data.
Desil yakni ukuran yang membagi data terurut menjadi 10 bab yang sama.
Desil ke-i: $D_{i}$ = datum ke-$\frac{i\left ( n\ +\ 1 \right )}{10}$ dengan $i$ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan $n$ = ukuran data.
Persentil yakni nilai-nilai yang mencegah data menjadi 100 bagian.
Persentil ke-i: $P_{i}$ = datum ke-$\frac{i\left ( n\ +\ 1 \right )}{100}$ dengan $i$ = 1, 2, 3, ..., 99 dan $n$ = ukuran data.
Data berkelompok
Rumus Kuartil ke-i: $Q_{i}\ =\ L_{i}\ +\ \frac{\frac{i}{4}n\ -\ \sum f_{Q_{i}}}{f_{Q_{i}}}\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{i}$ = tepi bawah kelas kuartil ke-i
$f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas kuartil ke-i
$\sum f_{Q_{i}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
$n$ = jumlah data
$c$ = panjang interval kelas
$i$ = 1, 2, 3
Rumus Desil ke-i: $D_{i}\ =\ L_{i}\ +\ \frac{\frac{i}{10}n\ -\ \sum f_{D_{i}}}{f_{D_{i}}}\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{i}$ = tepi bawah kelas desil ke-i
$f_{D_{i}}$ = frekuensi kelas desil ke-i
$\sum f_{D_{i}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
$n$ = jumlah data
$c$ = panjang interval kelas
$i$ = 1, 2, 3, ..., 9
Rumus Persentil ke-i: $P_{i}\ =\ L_{i}\ +\ \frac{\frac{i}{100}n\ -\ \sum f_{P_{i}}}{f_{P_{i}}}\ \times \ c$
Keterangan:
$L_{i}$ = tepi bawah kelas persentil ke-i
$f_{P_{i}}$ = frekuensi kelas persentil ke-i
$\sum f_{P_{i}}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
$n$ = jumlah data
$c$ = panjang interval kelas
$i$ = 1, 2, 3, 99
Peluang
Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi
Aturan Perkalian
Misalkan: operasi 1 sanggup dilaksanakan dalam n$_{1}$ cara, operasi 2 sanggup dilaksanakan dalam n$_{2}$ cara, operasi 3 sanggup dilaksanakan dalam n$_{3}$ cara, ..., operasi k sanggup dilaksanakan dalam n$_{k}$ cara.
Banyak cara k operasi sanggup dilaksanakan secara berurutan: n = n$_{1}$ x n$_{2}$ x n$_{3}$ x ... x n$_{k}$Notasi Faktorial
Perkalian n bilangan orisinil pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
n! = n x (n - 1) x (n - 2) x (n - 3) x ... x 3 x 2 x 1, dengan n bilangan asli, untuk n $\geq $ 2.
$\text{n}\ =\ \frac{\text{n!}}{\left ( \text{n}\ -\ \text{1} \right )}$ dengan 1! = 1 dan 0! = 1Permutasi dari sekumpulan unsur yang berlainan yakni cara penyusunan unsur-unsur tersebut dengan memperhatikan urutannya. Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia yaitu:
$_{\text{n}}\text{P}_{\text{r}}\ =\ \frac{\text{n!}}{\left ( \text{n}\ -\ \text{1} \right )\text{!}}$ dengan r $\leq $ nPermutasi dari n unsur yang tersedia jikalau terdapat k unsur yang sama, $l$ unsur yang serupa dan m unsur yang sama:
$\text{P}\ =\ \frac{\text{n!}}{\text{k!}\ l\text{!}\ \text{m!}}$, k, $l$, m $\leq $ nBanyak permutasi siklis dari n unsur berlainan yakni $\text{P}_{\text{siklis}}\ =\ \left ( \text{n - 1} \right )\text{!}$
Kombinasi dari sekumpulan unsur yang berlainan yakni cara penyusunan unsur-unsur tersebut tanpa memperhatikan urutannya. Banyak variasi r unsur diambil dari n unsur yang tersedia:
$_{\text{n}}\text{C}_{\text{r}}\ =\ \frac{\text{n!}}{\text{r!}\left ( \text{n}\ -\ \text{r} \right )\text{!}}$ dengan r $\leq $ n
Peluang Suatu Kejadian
Ruang sampel
Ruang sampel (S) yakni himpunan semesta hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Titik sampel yakni anggota dari ruang sampel.
Peluang suatu kejadian
Peluang suatu peristiwa (P) yakni perbandingan antara banyak anggota yang menyanggupi suatu peristiwa dan banyak seluruh anggota ruang sampel.
Peluang suatu peristiwa A dirumuskan:
$\text{P(A)}\ =\ \frac{\text{n(A)}}{\text{n(S)}}$
Keterangan:
n(A) = banyak hasil yang menyanggupi A
n(S) = banyak anggota ruang sampel
Nilai potensi yakni 0 $\leq $ P(A) $\leq $ 1. Jika peristiwa tidak mungkin maka P(A) = 0. Jika peristiwa niscaya maka P(A) = 1. Jika A' embel-embel peristiwa A maka potensi peristiwa A' yakni P(A') = 1 - P(A).
Frekuensi harapan
Misalkan dilakukan n kali percobaan dan A ialah peristiwa dengan potensi P(A). Frekuensi prospek dari peristiwa A(F$_{\text{h}}$) dirumuskan selaku berikut:
F$_{\text{h}}$ = n x P(A)
Peluang peristiwa majemuk
- Jika A dan B dua peristiwa yang berada dalam ruang sampel S maka berlaku:
P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - P(A $\cap$ B) - Jika A dan B masing-masing dua peristiwa yang saling lepas maka berlaku:
P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - Jika A dan B kejadian-kejadian yang saling bebas maka berlaku:
P(A $\cap$ B) = P(A) x P(B)
Peluang peristiwa bersyarat
Kejadian A dan peristiwa B disebut dua peristiwa yang saling bersyarat jikalau peristiwa A bergantung pada peristiwa B atau peristiwa B bergantung pada peristiwa A.
Peluang peristiwa A dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dahulu diputuskan dengan aturan:
$\text{P}\left ( \text{A}\mid \text{B} \right )\ =\ \frac{\text{P}\left ( \text{A}\ \cap \ \text{B} \right )}{\text{P}\left ( \text{B} \right )}$ dengan P(B) $\neq $ 0
Peluang peristiwa B dengan syarat peristiwa A terjadi lebih dahulu diputuskan dengan aturan:
$\text{P}\left ( \text{B}\mid \text{A} \right )\ =\ \frac{\text{P}\left ( \text{A}\ \cap\ \text{B} \right )}{\text{P}\left ( \text{A} \right )}$ dengan P(A) $\neq $ 0
Trigonometri
Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-siku
Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku ABC didefinisikan selaku berikut:
| sin A = $\frac{\text{sisi di hadapan sudut A}}{\text{hipotenusa}}$ = $\frac{\text{y}}{\text{r}}$ | cosec A = $\frac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi di hadapan sudut A}}$ = $\frac{\text{r}}{\text{y}}$ |
| cos A = $\frac{\text{sisi di bersahabat sudut A}}{\text{hipotenusa}}$ = $\frac{\text{x}}{\text{r}}$ | sec A = $\frac{\text{hipotenusa}}{\text{sisi di bersahabat sudut A}}$ = $\frac{\text{r}}{\text{x}}$ |
| tan A = $\frac{\text{sisi di hadapan sudut A}}{\text{sisi di bersahabat sudut A}}$ = $\frac{\text{y}}{\text{x}}$ | tan A = $\frac{\text{sisi di bersahabat sudut A}}{\text{sisi di hadapan sudut A}}$ = $\frac{\text{x}}{\text{y}}$ |
Rumus-rumus Trigonometri
Rumus-rumus perbandingan trigonometri sudut-sudut berelasi
| sin(-$\alpha $) = -sin $\alpha $ | sin (180$^{\circ }$ - $\alpha $) = sin $\alpha $ | sin (270$^{\circ }$ + $\alpha $) = -cos $\alpha $ |
| cos (-$\alpha $) = cos $\alpha $ | cos (180$^{\circ }$ - $\alpha $) = -cos $\alpha $ | cos (270$^{\circ }$ + $\alpha $) = sin $\alpha $ |
| tan (-$\alpha $) = -tan $\alpha $ | tan (180$^{\circ }$ - $\alpha $) = -tan $\alpha $ | tan (270$^{\circ }$ + $\alpha $) = -cotan $\alpha $ |
| sin (90$^{\circ }$ - $\alpha $) = cos $\alpha $ | sin (180$^{\circ }$ + $\alpha $) = -sin $\alpha $ | sin (360$^{\circ }$ - $\alpha $) = -sin $\alpha $ |
| cos (90$^{\circ }$ - $\alpha $) = sin $\alpha $ | cos (180$^{\circ }$ + $\alpha $) = -cos $\alpha $ | cos (360$^{\circ }$ - $\alpha $) = cos $\alpha $ |
| tan (90$^{\circ }$ - $\alpha $) = cotan $\alpha $ | tan (180$^{\circ }$ + $\alpha $) = tan $\alpha $ | tan (360$^{\circ }$ - $\alpha $) = -tan $\alpha $ |
| sin (90$^{\circ }$ + $\alpha $) = cos $\alpha $ | sin (270$^{\circ }$ - $\alpha $) = -cos $\alpha $ | sin (360$^{\circ }$ + $\alpha $) = sin $\alpha $ |
| cos (90$^{\circ }$ + $\alpha $) = -sin $\alpha $ | cos (270$^{\circ }$ - $\alpha $) = -sin $\alpha $ | cos (360$^{\circ }$ + $\alpha $) = cos $\alpha $ |
| tan (90$^{\circ }$ + $\alpha $) = -cotan $\alpha $ | tan (270$^{\circ }$ - $\alpha $) = cotan $\alpha $ | tan (360$^{\circ }$ + $\alpha $) = tan $\alpha $ |
Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut
| cos ($\alpha $ + $\beta $) = cos $\alpha $ cos $\beta $ - sin $\alpha $ sin $\beta $ | cos ($\alpha $ - $\beta $) = cos $\alpha $ cos $\beta $ + sin $\alpha $ sin $\beta $ |
| sin ($\alpha $ + $\beta $) = sin $\alpha $ cos $\beta $ + cos $\alpha $ sin $\beta $ | sin ($\alpha $ - $\beta $) = sin $\alpha $ cos $\beta $ - cos $\alpha $ sin $\beta $ |
| tan ($\alpha $ + $\beta $) = $\frac{\text{tan}\ \alpha\ +\ \text{tan}\ \beta }{\text{1 -}\ \text{tan}\ \alpha\ \text{tan}\ \beta }$ | tan ($\alpha $ - $\beta $) = $\frac{\text{tan}\ \alpha\ -\ \text{tan}\ \beta }{\text{1 +}\ \text{tan}\ \alpha\ \text{tan}\ \beta }$ |
Rumus trigonometri sudut ganda
sin 2$\alpha $ = 2 sin $\alpha $ cos $\alpha $
cos 2$\alpha $ = cos$^{\text{2}}$ $\alpha $ - sin$^{\text{2}}$ $\alpha $
cos 2$\alpha $ = 2 cos$^{\text{2}}$ $\alpha $ - 1
cos 2$\alpha $ = 1 - 2 sin$^{\text{2}}$ $\alpha $
tan 2$\alpha $ = $\frac{\text{2}\ \text{tan}\ \alpha }{\text{1 - tan}^{\text{2}}\ \alpha }$
Rumus trigonometri sudut pertengahan
sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ $\alpha $ = $\pm\ \sqrt{\frac{\text{1 - cos}\ \alpha }{\text{2}}}$
cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ $\alpha $ = $\pm\ \sqrt{\frac{\text{1 + cos}\ \alpha }{\text{2}}}$
tan $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ $\alpha $ = $\pm\ \sqrt{\frac{\text{1 - cos}\ \alpha }{\text{1 + cos}\ \alpha }}$
Rumus perkalian sinus dan kosinus
2 sin $\alpha $ cos $\beta $ = sin ($\alpha $ + $\beta $) + sin ($\alpha $ - $\beta $)
2 cos $\alpha $ sin $\beta $ = sin ($\alpha $ + $\beta $) - sin ($\alpha $ - $\beta $)
2 cos $\alpha $ cos $\beta $ = cos ($\alpha $ + $\beta $) + cos ($\alpha $ - $\beta $)
2 sin $\alpha $ sin $\beta $ = -{cos ($\alpha $ + $\beta $) - cos ($\alpha $ - $\beta $)}
Rumus jumlah dan selisih pada sinus dan kosinus
sin $\alpha $ + sin $\beta $ = 2 sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ + $\beta $) cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ - $\beta $)
sin $\alpha $ - sin $\beta $ = 2 cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ + $\beta $) sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ - $\beta $)
cos $\alpha $ + cos $\beta $ = 2 cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ + $\beta $) cos $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ - $\beta $)
cos $\alpha $ - cos $\beta $ = -2 sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ + $\beta $) sin $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ ($\alpha $ - $\beta $)
Demikian ulasan ihwal kumpulan rumus matematika yang dipelajari dari SD, SMP, hingga SMA. Semoga postingan ini berharga dan memperbesar pengetahuan teman-teman semua.
