Matematika Dasar: Kebijaksanaan Matematika: Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi Dan Biimplikasi

Saat ini, teman-teman lagi berguru materi logika matematika? Kalau iya, bermakna teman-teman sedang membuka postingan yang sempurna lantaran pada postingan ini akan membahas semua materi logika matematika menyerupai pernyataan, proposisi, ingkaran/negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, dan lain-lain. Untuk mempermudah dalam mempelajarinya, berikut daftar isi materi yang hendak dibahas pada postingan ini:

KONSEP TENTANG LOGIKA

Kata logika berasal dari kata “LOGIKE” (bahasa Yunani), yang berafiliasi dengan kata benda “LOGOS” yang artinya Pikiran atau Kata.

Dalam KBBI Logika adalah: (1) wawasan mengenai kaidah berpikir; (2) jalan asumsi yang masuk akal.

Logika didefinisikan selaku ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar sehingga ditemukan kesimpulan yang absah/valid.

Manusia bisa menyebarkan wawasan lantaran mempunyai bahasa dan kesanggupan menalar. Untuk sanggup menawan kesimpulan yang tepat, dikehendaki kesanggupan menalar. Kemampuan menalar yakni kesanggupan untuk menawan kesimpulan yang sempurna dari bukti-bukti yang ada, dan menurut aturan-aturan tertentu.

SEJARAH RINGKAS DAN PERKEMBANGAN LOGIKA

Manusia berguru logika sejak jaman Yunani Kuno. Aristoteles (284 - 322 SM) yakni seorang filsuf yang menyebarkan logika pada jaman itu, yang pada waktu itu dipahami dengan sebutan logika tradisional.

Terdapat 5 aliran besar dalam logika, yakni :

1. Aliran Logika Tradisional
   Dalam aliran ini, Aristoteles memakai ungkapan analitika dan dialektika. Dengan analitika dimaksudkan pengusutan kepada argumen-argumen yang bertolak dari putusan-putusan yang benar, sedangkan dialektika yakni pengusutan kepada argumen-argumen yang bertolak dari putusan-putusan yang masih disangsikan kebenarannya.
   Logika tradisional menilai bahwa logika ditafsirkan selaku suatu kumpulan hukum simpel yang menjadi isyarat pemikiran.
2. Aliran Logika Metafisis
   Susunan asumsi itu dianggap kenyataan, sehingga logika dianggap menyerupai metafisika. Tugas pokok logika yakni menafsirkan asumsi selaku suatu tahap dari struktur kenyataan. Sebab itu untuk mengetahui kenyataan, orang mesti berguru logika lebih dahulu.
3. Aliran Logika Epistemologis
   Dipelopori oleh Francis Herbert Bradley (1846 - 1924) dan Bernard Bosanquet (1848 - 1923). Untuk sanggup meraih wawasan yang memadai, asumsi logis dan perasaan mesti digabung. Demikian juga untuk meraih kebenaran, logika mesti dihubungkan dengan seluruh wawasan lainnya.
4. Aliran Logika Instrumentalis (Aliran Logika Pragmatis)
   Dipelopori oleh John Dewey (1859 - 1952). Logika dianggap selaku alat (instrumen) untuk memecahkan masalah.
5. Aliran Logika Simbolik
   Dipelopori oleh Leibniz, Boole dan De Morgan. Aliran ini sungguh menekankan penggunaan bahasa simbol untuk mempelajari secara terinci, bagaimana kecerdikan mesti bekerja. Metode-metode dalam menyebarkan matematika banyak digunakan oleh aliran ini, sehingga aliran ini meningkat sungguh teknis dan ilmiah serta bercorak matematika, yang kemudian disebut Logika Matematika (Mathematical Logic). G.W. Leibniz (1646 - 1716) dianggap selaku matematikawan pertama yang mempelajari Logika Simbolik.
   
   
   Pada kala kesembilan belas, George Boole (1815 - 1864) sukses menyebarkan Logika Simbolik. Bukunya yang berjudul Low of Though menyebarkan logika selaku tata cara matematika yang abstrak. Logika Simbolik ini ialah logika formal yang semata-mata menelaah bentuk dan bukan isi dari apa yang dibicarakan.
   
   
   Karena akan dibahas banyak mengenai Logika Simbolik maka berikut ini disampaikan dua anjuran mengenai Logika Simbolik yang merangkum keseluruhan maknanya.
   1. Logika simbolik yakni ilmu mengenai penyimpulan yang sah (absah), khususnya yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode matematika dan dengan santunan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda dari bahasa sehari-hari (Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic”).
   2. Pemakaian simbol-simbol matematika untuk mewakili bahasa. Simbol-simbol itu dimasak sesuai dengan aturan-aturan matematika untuk menetapkan apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah.

Studi mengenai logika meningkat terus dan kini logika menjadi ilmu wawasan yang luas dan yang condong mempunyai sifat teknis dan ilmiah. Aljabar Boole, salah satu topik yang ialah ekspansi logika (dan teori himpunan), kini ini digunakan secara luas dalam merancang komputer. Penggunaan simbol-simbol Boole sanggup meminimalisir banyak kesalahan dalam penalaran.

Ketidakjelasan berbahasa sanggup disingkirkan dengan memakai simbol-simbol, lantaran sehabis problem diterjemahkan ke dalam notasi simbolik, penyelesaiannya menjadi bersifat mekanis. Tokoh-tokoh terkenal yang lain yang menjadi penunjang pertumbuhan logika simbolik yakni De Morgan, Leonard Euler (1707 - 1783), John Venn (1834 - 1923), Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell (1872 - 1970).

PENTINGNYA BELAJAR LOGIKA

Belajar logika (logika simbolik) sanggup memajukan kesanggupan menalar kita, lantaran dengan berguru logika :

1. Kita mengetahui dan memakai bentuk-bentuk lazim tertentu dari cara penarikan konklusi/kesimpulan yang absah, dan menyingkir dari kesalahan-kesalahan yang dapat dijumpai.
2. Kita sanggup memperpanjang rangkaian kecerdikan sehat itu untuk menyelesaikan problem-problem yang lebih kompleks.

PENALARAN LOGIKA

Penalaran dalam logika berisikan 2 yaitu:

1. Penalaran deduktif
   Penalaran deduktif yakni kecerdikan sehat yang didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menawan suatu kesimpulan dengan mengikuti pola kecerdikan sehat tertentu.
   
   
   Contoh:
   Premis 1 : Semua mahasiswa gres mengikuti OSPEK.
   Premis 2 : Fadli yakni mahasiswa baru.
   Kesimpulan : Fadli mengikuti OSPEK.
   
   
   Premis yakni pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menawan suatu kesimpulan.
   
   
2. Penalaran induktif
   Penalaran induktif yakni kecerdikan sehat yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menawan kesimpulan yang berlaku umum.
   
   
   Contoh:
   Premis 1 : Ayam-1 meningkat biak dengan telur.
   Premis 2 : Ayam-2 meningkat biak dengan telur.
   Premis 3 : Ayam-3 meningkat biak dengan telur.
   Premis 4 : Ayam-4 meningkat biak dengan telur.
   :
   :
   Premis 50 : Ayam-50 meningkat biak dengan telur.
   Kesimpulan : Semua ayam meningkat biak dengan telur.
   
   

PERNYATAAN

Sebelum membahas mengenai Pernyataan, akan kita diskusikan terlebih dulu apa yang disebut kalimat.

Kalimat ialah kumpulan kata yang disusun menurut hukum tata bahasa. Kata yakni rangkaian huruf yang mengandung arti.

Jadi bisa ditarik kesimpulan Kalimat yakni rangkaian kata yang disusun menurut hukum tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika cuma dibicarakan kalimat-kalimat bermakna yang mengambarkan (kalimat deklaratif/indicative sentences).

Contoh :

1. 4 kurang dari 5

2. Indonesia terdiri atas 34 provinsi

3. 2 yakni bilangan prima dan genap

4. 3 yakni bilangan genap

dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti:

5. Berapa umurmu? (Kalimat tanya)

6. Bersihkan daerah tidurmu! (Kalimat perintah)

7. Sejuk benar udara di sini! (Kalimat ungkapan perasaan)

8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu (Kalimat pengharapan)

Dari contoh-contoh di atas, terlihat bahwa kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar, sedangkan kalimat 4 bernilai salah. Kalimat 5, 6, 7, dan 8, tidak sanggup diputuskan nilai benar atau salahnya.

Nilai benar artinya ada kesesuaian antara yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan kondisi sesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yakni benar dalam arti matematis.

Defenisi:

Suatu pernyataan (statement) yakni suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tapi tidak sekaligus benar dan salah.

Contoh :

Kalimat 1, 2, 3, dan 4

Benar atau salahnya suatu pernyataan disebut nilai kebenaran pernyataan itu. Nilai kebenaran dilambangkan dengan $\tau$ (Tau). Berarti “4 kurang dari 5” nilai kebenarannya Benar atau $\tau$ = Benar

Suatu pernyataan biasanya disimbolkan dengan huruf huruf kecil, misalnya p, q, r, … dan seterusnya, sedangkan nilai benar disimbolkan dengan “B” atau “1 (satu)” dan nilai salah disimbolkan dengan “S” atau “0 (nol)”.

Contoh :

p : Ada 12 bulan dalam setahun, $\tau$(p) = B

q : 4 + 5 = 8, $\tau$(q) = S

Seperti sudah kita ketahui, menurut jenisnya suatu kalimat secara sederhana sanggup dibagi menyerupai di bawah ini:

Bukan pernyataan (bukan kalimat deklaratif) contohnya: Kalimat 5, 6, 7, dan 8.

Sedangkan kalimat tidak bermakna contohnya:

9. Batu makan rumput

10. 3 melempari 5

Kesimpulan:

Setiap kalimat berarti, terang dan mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah) disebut pernyataan.

VARIABEL DAN KONSTANTA

Defenisi:

Variabel yakni simbol yang menyampaikan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan.

Defenisi:

Konstanta yakni simbol yang menyampaikan anggota tertentu (yang sudah spesifik) dalam spesifik pembicaraan.

Perhatikan kalimat berikut ini:

a) Manusia makan nasi

b) . . . memakai sepatu

c) 2 + x = 6

d) 8 + . . . = 12

e) p < 6

Ada yang menyampaikan bahwa kalimat a benar, tapi ada juga yang menyampaikan bahwa kalimat itu salah, tergantung pada kesesuaian kalimat itu dengan kondisi sesungguhnya. Kalimat menyerupai ini disebut pernyataan faktual.

Ada juga yang menyampaikan bahwa kelima-kalimat di atas belum sanggup dibilang mempunyai nilai. Seperti sudah kita ketahui, nilai benar maupun nilai salah suatu kalimat (baik kalimat sehari-hari maupun kalimat matematika), diputuskan oleh kebenaran atau ketidakbenaran realitas yang dinyatakan.

Jika kata “manusia” dalam kalimat a diganti “Sanohugo”, maka kalimat menjadi “Sanohugo makan nasi”. Kalimat ini terang bernilai salah saja atau bernilai benar saja; tergantung realitasnya. Inilah kalimat yang disebut dengan pernyataan faktual.

Demikian pula jikalau “. . .” pada kalimat b diganti “Jhon”, maka kalimat ini menjadi “Jhon memakai sepatu”. Kalimat (pernyataan) itupun menjadi terang nilainya, yakni salah saja atau benar saja, tergantung realitasnya.

Jika “x” pada kalimat c diganti “4” maka kalimat itu menjadi “2 + 4 = 6”. Kalimat (pernyataan) ini terang bernilai benar saja.

Jika “. . .” pada kalimat d diganti “6”, maka kalimat itu menjadi “8 + 6 = 12”. Jelas pernyataan itu bernilai salah saja.

Jika “p” pada kalimat e diganti “0, 1, 2, 3, 4, 5”, maka pernyataan “p < 6” menjadi bernilai benar, tapi kalimat (pernyataan) itu menjadi bernilai salah apabila “p” pada e diganti "6, 7, 8, . . ." dalam semesta obrolan himpunan bilangan cacah.

“Manusia”, “. . .”, “x”, “p” pada kalimat-kalimat di atas disebut Variabel. Sedangkan pengganti-pengganti menyerupai “Sanohugo”, “Jhon”, “4”, “6”, dan “0, 1, 2, 3, 4, 5” dan "6, 7, 8, . . ." disebut Konstanta.

KALIMAT TERBUKA

Defenisi:

Kalimat terbuka yakni kalimat yang mengandung variabel, dan jikalau variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja (pernyataan).

Berdasarkan rujukan kalimat pada variabel dan konstanta, maka kalimat-kalimat menyerupai a hingga dengan e di atas disebut kalimat terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka kalimat yang terjadi sanggup disebut kalimat tertutup.

Kalimat terbuka menyerupai c, d, dan e, disebut kalimat matematika (ada yang menyebut kalimat bilangan). Kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan memakai tanda “=” menyerupai kalimat c dan d disebut persamaan. Kalimat e yang memakai tanda “<” disebut pertidaksamaan (sebutan ini juga berlaku untuk kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan memakai tanda “>” atau “$\neq $”).

Jika variabel pada kalimat matematika itu sudah diganti dengan konstanta dan kalimat matematika itu memakai tanda “=” maka kalimat yang terjadi disebut kesamaan. Sedangkan kalimat matematika yang tidak mengandung variabel dan memakai tanda “<”, “>” atau “$\neq $” disebut ketidaksamaan.

Di atas sudah diberikan definisi-definisi dari pernyataan, variabel, konstanta, dan kalimat terbuka. Pernyataan yang menerangkan istilah-istilah di atas disebut kalimat definisi. Pada kalimat definisi dihentikan terdapat kata-kata yang belum terang artinya, terlebih kata yang sedang didefinisikan.

Beberapa rujukan kalimat terbuka yaitu:

a) x yakni bilangan bulat

b) x + 2 > 10

c) x² - 3x + 5 = 0

d) y = 2x + 1

PROPOSISI

Defenisi:

Proposisi yakni suatu pernyataan yang bernilai benar atau salah, tapi tidak sanggup sekaligus keduanya.

Atau bisa diartikan:

Pernyataan yang diungkapkan oleh suatu kalimat bermakna serta mempunyai nilai benar atau nilai salah tapi dihentikan kedua-duanya disebut proposisi. Banyak pemikir terbaru berpikir bahwa “pernyataan” dan “proposisi” yakni sinonim, atau paling tidak semestinya sama.

Logika yang menanggulangi atau memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi disebut logika proposisional.

Contoh:

a) Bali mempunyai sebutan pulau dewata ($\tau$ = Benar)

b) 2 + 2 = 4 ($\tau$ = Benar)

c) 4 yakni bilangan prima ($\tau$ = Salah)

d) 5 x 12 = 90 ($\tau$ = Salah)

Proposisi-proposisi yang nilainya senantiasa benar disebut Tautologi. Sementara proposisi-proposisi yang nilainya senantiasa salah disebut Kontradiksi.

Untuk mengetahui suatu proposisi, sanggup dibantu dengan balasan jikalau ada pertanyaan “Apakah nilainya benar atau salah?”. Pernyataan yang tidak mencakup proposisi adalah, jika:

• kalimat perintah dan kalimat pertanyaan
• pernyataan yang tidak mempunyai nilai benar atau salah
• kalimat terbuka

Contoh:

a) Komang, bersihkan lantai ini! (kalimat perintah)

b) Anda mahasiswa jurusan apa? (kalimat tanya)

c) x + 5 = 7 (kalimat terbuka)

d) Angka 13 yakni angka keramat (kalimat yang tidak mempunyai nilai benar atau salah)

Selain pernyataan yang mengakibatkan banyak pendapat, serta kalimat perintah dan kalimat tanya, suatu proposisi dihentikan digantikan dengan proposisi lain yang artinya sama.

Lihat rujukan berikut ini:

a) Ayu pintar

b) Ayu tidak bodoh

Pada pernyataan pertama dengan pernyataan kedua artinya sama, tapi pemberian variabel proposisinya berbeda. Proposisi tidak diijinkan menafsir arti kalimat.

Contoh:

a) A = Luna rajin, maka “Tidak A” = Luna tidak rajin

b) B = Luna malas, maka “Tidak B” = Luna tidak malas

Jadi tidak diperbolehkan mengubah “Tidak A” dengan B, meskipun arti kalimatnya sama.

Proposisi-proposisi sanggup digabung dan dimanipulasi sedemikian rupa dengan banyak sekali cara sehingga membentuk proposisi yang rumit.

Penggabungan tersebut dilaksanakan dengan perangkai-perangkai sehingga disebut PROPOSISI MAJEMUK (compound propositions).

Proposisi beraneka ragam bergotong-royong berisikan banyak proposisi atomik. PROPOSISI ATOMIK yakni proposisi yang tak sanggup dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi.

Contoh: Tuti sedang mengolah makanan dan Leni sedang menyapu halaman

Kalimat di atas ialah proposisi beraneka ragam yang berisikan 2 proposisi atomik yang dirangkai dengan perangkai “dan”. Jika kalimat tersebut dipisah, akan menjadi dua kalimat berikut:

Tuti sedang memasak

Leni sedang menyapu halaman

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, . . .

Contoh:

p : 17 yakni bilangan ganjil

q : Soekarno yakni Presiden Pertama RI

r : 6 + 9 = 15

Untuk lebih jelasnya mengetahui mengenai Pernyataan dan Proposisi, Silahkan dijawab pertanyaan berikut:

“52 < 84”

Apakah ini suatu Pernyataan? Ya

Apakah isi suatu Proposisi? Ya

Apakah Nilai Kebenaran dari Proposisi ini? Benar

“Burung Terbang Menggunakan Sayap”

Apakah ini suatu Pernyataan? Ya

Apakah isi suatu Proposisi? Ya

Apakah Nilai Kebenaran dari Proposisi ini? Benar

“y $\neq $ 7”

Apakah ini suatu Pernyataan? Tidak

Apakah isi suatu Proposisi? Tidak

Ini yakni kalimat terbuka. Kalimat ini bisa dijadikan pernyataan apabila nilai y sudah ditentukan.

KATA HUBUNG KALIMAT

Pernyataan beraneka ragam berisikan satu atau lebih pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata hubung kalimat (connective) tertentu. Dalam bahasa Indonesia kita sering memakai kata-kata “tidak”, “dan”, “atau”, “jika. . . maka. ..”, “jika dan cuma jika”. Marilah kini kita memperhatikan penggunaan kata-kata itu dengan lebih teliti dalam matematika (dan membandingkannya dengan penggunaan dalam percakapan sehari-hari). Kita pelajari sifat-sifatnya untuk memperjelas cara berpikir kita dan utamanya lantaran pentingnya kata-kata itu untuk melakukan pembuktian. Dalam pelajaran logika (matematika), kata-kata itu disebut kata hubung kalimat atau perangkai. Ada lima macam kata hubung kalimat yakni negasi, konjungsi, disjungsi, kondisional, dan bikondisional.

Negasi tidak menghubungkan dua buah pernyataan sederhana, tapi tetap dianggap selaku kata hubung kalimat, yakni menegasikan pernyataan sederhana (ada yang menilai bahwa negasi suatu pernyataan sederhana bukan pernyataan majemuk).

NEGASI (INGKARAN ATAU PENYANGKALAN)

Perhatikan pernyataan : “Sekarang hari hujan” bagaimana ingkaran pernyataan itu? Anda sanggup dengan gampang menjawab : "Sekarang hari tidak hujan”. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah.

Sesungguhnya, penambahan "tidak" ke dalam kalimat semula tidaklah cukup. Coba anda fikirkan bagaimana negasi dari kalimat : “Beberapa cowok yakni atlet”.

Defenisi:

Ingkaran suatu pernyataan yakni pernyataan yang bernilai benar, jikalau pernyataan semula salah, dan sebaliknya. Ingkaran pernyataan p ditulis p

Contoh:

1. Jika p : Jakarta ibu kota RI (B)
   maka p : Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota RI (S)
   atau p : Jakarta bukan ibu kota RI (S)


2. Jika q : Zainal memakai beling mata
   maka q : Tidak benar bahwa Zainal memakai beling mata
   atau q : Zainal tidak memakai beling mata
   q akan bernilai salah jikalau Zainal sungguh-sungguh memakai beling mata.


3. Jika r : 6 + 1 < 8 (B)
   maka r : Tidak benar bahwa 6 + 1 < 8 (S)
   atau r : 6 + 1 = 8 (S)
   atau r : 6 + 1 > 8 (S)


4. Jika s : Ada anak berkacamata di kelasku (B) (dimisalkan bahwa pernyataan ini benar)
   maka s : Tidak benar bahwa ada anak berkacamata di kelasku (S)

Kesimpulan:

Membentuk ingkaran suatu pernyataan sanggup dengan menyertakan kata-kata tidak benar bahwa di depan pernyataan aslinya, atau jikalau mungkin dengan memperbesar bukan atau tidak di dalam pernyataan itu, tapi untuk pernyataan-pernyataan tertentu tidak demikian halnya.

Berdasarkan defenisi di atas, sanggup dibentuk tabel kebenaran untuk ingkaran menyerupai berikut:

p	p
B	S
S	B

KONJUNGSI (DAN)

Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan beraneka ragam memakai kata hubung “dan” dengan lambang p ∧ q, dibaca p dan q.

Defenisi:

Suatu konjungsi dari dua pernyataan bernilai benar cuma dalam kondisi kedua komponennya bernilai benar.

Berdasarkan definisi di atas, sanggup disusun tabel kebenaran untuk konjungsi menyerupai berikut:

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

DISJUNGSI (ATAU)

Sekarang amati pernyataan: “Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet berbakat”. Membaca pernyataan itu akan muncul tafsiran:

• Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet yang berbakat, tapi tidak kedua-duanya, atau
• Ismah seorang mahasiswa yang cemerlang atau seorang atlet yang berbakat, mungkin kedua-duanya.

Tafsiran pertama yakni rujukan disjungsi eksklusif dan tafsiran kedua yakni rujukan disjungsi inklusif.

Jika pernyataan semula benar, maka keduanya dari tafsiran 1 atau 2 yakni benar (untuk disjungsi inklusif), mungkin benar salah satu (untuk disjungsi eksklusif), dan sebaliknya. Lebih dari itu, jikalau pernyataan semula salah, maka kedua tafsiran itu pasti salah (untuk disjungsi inklusif dan eksklusif).

Berdasarkan pemahaman di atas, dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan “atau” ialah disjungsi dari kedua pernyataan semula.

Dibedakan antara:

• disjungsi inklusif yang diberi simbol “∨” dan
• disjungsi langsung yang diberi simbol “$\underline{∨}$”

Disjungsi inklusif dari dua pernyataan p dan q ditulis p ∨ q, dan disjungsi langsung dari dua pernyataan p dan q ditulis p $\underline{∨}$ q, dan dibaca: p atau q. pernyataan p ∨ q juga disebut selaku pernyataan disjungtif.

Contoh :

1. Jika p : Aku tinggal di Indonesia
   q : Aku berguru Bahasa Inggris sejak SMP
   maka p ∨ q : Aku tinggal di Indonesia atau berguru Bahasa Inggris sejak SMP
   Pernyataan p ∨ q bernilai benar jikalau Aku sungguh-sungguh tinggal di Indonesia atau sungguh-sungguh berguru Bahasa Inggris sejak SMP.
2. Jika r : Aku lahir di Gunungsitoli, dan
   s : Aku lahir di Jakarta,
   maka r ∨ s : Aku lahir di Gunungsitoli atau di Jakarta.
   Pernyataan r ∨ s bernilai benar jikalau Aku sungguh-sungguh lahir di salah satu kota Gunungsitoli atau Jakarta, dan tidak di kedua daerah itu. Mustahil saya lahir di dua kota dalam waktu yang sama.

Defenisi:

Suatu disjungsi inklusif bernilai benar apabila paling sedikit satu komponennya bernilai benar

Berdasarkan definisi di atas, sanggup disusun tabel kebenaran untuk disjungsi inklusif menyerupai berikut:

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Defenisi:

Suatu disjungsi langsung bernilai benar apabila cuma salah satu komponennya bernilai benar

Berdasarkan definisi di atas, sanggup disusun tabel kebenaran untuk disjungsi langsung menyerupai berikut:

p	q	p $\underline{∨}$ q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Sifat-sifat pernyataan yang ekivalen:

1. (p ∧ q) ≡ p ∨ q
   
   

   p	q	p	q	p ∧ q	(p ∧ q)	p ∨ q
   B	B	S	S	B	S	S
   B	S	S	B	S	B	B
   S	B	B	S	S	B	B
   S	S	B	B	S	B	B

   
   
2. (p ∨ q) ≡ p ∧ q
   
   

   p	q	p	q	p ∨ q	(p ∨ q)	p ∧ q
   B	B	S	S	B	S	S
   B	S	S	B	B	S	S
   S	B	B	S	B	S	S
   S	S	B	B	S	B	B

   
   
3. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
   
   

   p	q	r	(q ∧ r)	p ∨ (q ∧ r)	(p ∨ q)	(p ∨ r)	(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
   B	B	B	B	B	B	B	B
   B	B	S	S	B	B	B	B
   B	S	B	S	B	B	B	B
   B	S	S	S	B	B	B	B
   S	B	B	B	B	B	B	B
   S	B	S	S	S	B	S	S
   S	S	B	S	S	S	B	S
   S	S	S	S	S	S	S	S

   
   
4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
   
   

   p	q	r	(q ∨ r)	p ∧ (q ∨ r)	(p ∧ q)	(p ∧ r)	(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
   B	B	B	B	B	B	B	B
   B	B	S	B	B	B	S	B
   B	S	B	B	B	S	B	B
   B	S	S	S	S	S	S	S
   S	B	B	B	S	S	S	S
   S	B	S	B	S	S	S	S
   S	S	B	B	S	S	S	S
   S	S	S	S	S	S	S	S

   
   

KONDISIONAL (IMPLIKASI ATAU PERNYATAAN BERSYARAT)

Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan beraneka ragam dimana p ialah sebab/alasan/hipotesa (anteseden) dan q ialah akhir (kesimpulan) atau konklusi (konsekuen). Implikasi dilambangkan dengan p ⇒ q. Pernyataan p ⇒ q sanggup dibaca:

• Jika p maka q
• p berimplikasi q
• p cuma jikalau q
• q jikalau p

Bila kita menilai pernyataan q selaku suatu peristiwa, maka kita menyaksikan bahwa “Jika p maka q” sanggup diartikan selaku “Bilamana p terjadi maka q juga terjadi” atau sanggup juga, diartikan selaku “Tidak mungkin insiden p terjadi, tapi insiden q tidak terjadi”.

Defenisi:

Implikasi p ⇒ q bernilai salah jikalau anteseden benar dan konsekuen salah

Berdasarkan definisi diatas sanggup disusun tabel kebenaran untuk implikasi menyerupai berikut:

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh:

1. Jika p : burung mempunyai sayap (B), dan
   q : 2 + 3 = 5 (B)
   maka p ⇒ q : jikalau burung mempunyai sayap maka 2 + 3 = 5 (B)
2. Jika r : x bilangan cacah (B), dan
   s : x bilangan lingkaran positif (S)
   maka p ⇒ q : jikalau x bilangan cacah maka x bilangan lingkaran positif (S)

Turunan dari pernyataan-pernyataan implikasi yang mempunyai nilai kebenaran dari bentuk implikasi yakni:

KONVERS

Konvers yakni pernyataan beraneka ragam dari pembalikkan daerah pada implikasi dimana pernyataan pertama (implikasi) menjadi pernyataan kedua (konvers) dan sebaliknya. Konvers ditulis q ⇒ p. Tabel kebenarannya adalah:

p	q	p ⇒ q	q ⇒ p
B	B	B	B
B	S	S	B
S	B	B	S
S	S	B	B

INVERS

Invers yakni suatu pernyataan tunggal yang digabungkan menjadi satu pernyataan beraneka ragam yang ialah ingkaran masing-masing pernyataan. Ingkaran tersebut yakni ingkaran pada implikai. Kaprikornus invers dinyatakan dengan lambang p ⇒ q dibaca “jika negasi p maka negasi q”. Tabel kebenarannya adalah:

p	q	p	q	p ⇒ q
B	B	S	S	B
B	S	S	B	B
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

KONTRAPOSISI

Kontraposisi yakni suatu pernyataan tunggal yang digabungkan menjadi satu pernyataan beraneka ragam yang ialah pembalikkan daerah dari ingkaran implikasi. Kaprikornus kontraposisi dinyatakan dengan lambang q ⇒ p dibaca “jika negasi q maka negasi p”. Tabel kebenarannya adalah:

p	q	p	q	q ⇒ p
B	B	S	S	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

Defenisi:

Konvers dari implikasi p ⇒ q yakni q ⇒ p

Invers dari implikasi p ⇒ q yakni p ⇒ q

Kontraposisi dari implikasi p ⇒ q yakni q ⇒ p

Hubungan antara implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi sanggup ditunjukkan dengan bagan berikut ini:

BIKONDISIONAL (BIIMPLIKASI ATAU PERNYATAAN BERSYARAT GANDA)

Dua pernyataan tunggal p dan q digabungkan menjadi satu pernyataan beraneka ragam dengan memakai kata hubung “jika dan cuma jika” atau “bila dan cuma bila” dengan lambang p ⇔ q dibaca p jikalau dan cuma jikalau q. Pernyataan “p jikalau dan cuma jikalau q” bermakna “jika p maka q dan jikalau q maka p”, sehingga juga bermakna “p yakni syarat perlu dan cukup bagi q” dan sebaliknya. Atau dengan kata lain pernyataan beraneka ragam biimplikasi yakni pernyataan prasyarat yang biasanya bersyarat mutlak.

Defenisi:

Pernyataan bikondisional bernilai benar cuma jikalau komponen-komponennya bernilai sama.

Contoh:

1. Jika p : 2 bilangan genap (B)
   q : 3 bilangan ganjil (B)
   maka p ⇔ q : 2 bilangan genap jikalau dan cuma jikalau 3 bilangan ganjil (B)
2. Jika r : 2 + 2 $\neq $ 5 (B)
   s : 4 + 4 < 8 (S)
   maka r ⇔ s : 2 + 2 $\neq $ 5 jikalau dan cuma jikalau 4 + 4 < 8 (S)
3. Jika a : Surabaya ada di jawa barat (S)
   b : 23 = 6 (S)
   maka a ⇔ b : Surabaya ada di jawa barat jikalau dan cuma jikalau 23 = 6 (B)

Berdasarkan definisi diatas sanggup disusun tabel kebenaran untuk biimplikasi menyerupai berikut.

p	q	p ⇔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Sifat-sifat pernyataan yang ekivalen:

1. p ⇒ q ≡ p ∨ q
   
   

   p	q	p	p ⇒ q	p ∨ q
   B	B	S	B	B
   B	S	S	S	S
   S	B	B	B	B
   S	S	B	B	B

   
   
2. p ⇒ q ≡ q ⇒ p
   
   

   p	q	p	q	p ⇒ q	q ⇒ p
   B	B	S	S	B	B
   B	S	S	B	S	S
   S	B	B	S	B	B
   S	S	B	B	B	B

   
   
3. (p ⇒ q) ≡ p ∧ q
   
   

   p	q	q	p ⇒ q	(p ⇒ q)	p ∧ q
   B	B	S	B	S	S
   B	S	B	S	B	B
   S	B	S	B	S	S
   S	S	B	B	S	S

   
   
4. (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
   
   

   p	q	p ⇒ q	q ⇒ p	p ⇔ q	(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
   B	B	B	B	B	B
   B	S	S	B	S	S
   S	B	B	S	S	S
   S	S	B	B	B	B

   
   
5. (p ⇔ q) ≡ ( p ∨ q) ∧ ( q ∨ p)
   
   

   p	q	p	q	p ∨ q	q ∨ p	p ⇔ q	( p ∨ q) ∧ ( q ∨ p)
   B	B	S	S	B	B	B	B
   B	S	S	B	S	B	S	S
   S	B	B	S	B	S	S	S
   S	S	B	B	B	B	B	B

   
   
6. (p ⇔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (q ∧ p)
   
   

   p	q	p	q	p ∧ q	q ∧ p	p ⇔ q	(p ⇔ q)	(p ∧ q) ∨ (q ∧ p)
   B	B	S	S	S	S	B	S	S
   B	S	S	B	B	S	S	B	B
   S	B	B	S	S	B	S	B	B
   S	S	B	B	S	S	B	S	S

   
   

Silahkan buka materi berikutnya Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

Demikianlah materi logika matematika, agar bermanfaat. Salam Ono Niha - Ya'ahowu.

Buat lebih berguna, kongsi: