Artikel ini membahas wacana barisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri. Ada beberapa rumus yang dipelajari dalam bahasan bahan ini antara lain rumus suku ke-n, rumus suku tengah, rumus sisipan dan rumus jumlah n suku pertama. Agar lebih terperinci penggunaannya, turut dibarengi teladan soal beserta cara penyelesaiannya.
Barisan dan deret merupakan salah satu materi matematika yang dipelajari dibangku sekolah SMA. Selain itu, bahan ini juga tergolong kepingan bahan kuliah Aljabar Elementer. Sebelum mempelajari bahan pokoknya, mari mengetahui perumpamaan pola bilangan, barisan bilangan dan deret apalagi dahulu.
Pola Bilangan
Apa itu pola bilangan?? Pola bilangan merupakan bilangan-bilangan yang disusun membentuk hukum tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka-angka seumpama mendatar, menurun, ataupun secara diagonal (miring).
Berikut contoh-contoh pola bilangan.
1. Pola bilangan ganjil
2. Pola bilangan genap
3. Pola bilangan segitiga
4. Pola bilangan persegi panjang
5. Segitiga Pascal
Barisan Bilangan
Barisan bilangan merupakan susunan atau urutan bilangan terbuat menurut pola atau hukum tertentu. Bilangan pada suatu barisan disebut suku. Penulisan barisan yakni $U_{1},\ U_{2},\ U_{3},\ ...,\ U_{n}$.
$U_{1}$ = suku ke-1, $U_{2}$ = suku ke-2, $U_{3}$ = suku ke-3, $U_{n}$ = suku ke-n.
Perhatikan teladan barisan bilangan berikut.
Nama suatu barisan umumnya dicirikan oleh bilangan-bilangan yang membentuk barisan itu. Misalnya:
- Barisan bilangan orisinil : 1, 2, 3, 4, 5, ...
- Barisan bilangan prima : 2, 3, 5, 7, 11, ...
- Barisan bilangan cacah : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
- Barisan bilangan bundar : ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Deret
Deret merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan bilangan. Penulisan deret yakni $U_{1}\ +\ U_{2}\ +\ U_{3}\ +\ U_{4}\ +\ ...\ +\ U_{n}$
Contoh deret.
Setelah mengetahui perumpamaan di atas, kini saatnya kita masuk ke bahan pembahasannya, kita mulai dahulu dari barisan dan deret aritmetika.
Barisan Aritmetika
Saat mengendarai motor, pernahkah kalian mengamati speedometer pada motor tersebut? Pada speedometer terdapat angka-angka 0, 20, 40, 60, 80, 100, dan 120 yang menampilkan kecepatan motor dikala kalian mengendarainya. Angka-angka ini berurutan mulai dari terkecil hingga paling besar dengan pola tertentu sehingga membentuk suatu barisan aritmetika.
Kita akan membahas barisan terbuat secara khusus. Misalkan barisan itu terbentuk dari bilangan a dan b yang real. Adapun bentuknya merupakan $a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ ...$
Barisan itu dibikin dengan cara menyertakan bilangan b pada suku sebelumnya.
Perhatikan barisan bilangan berikut.
- (i) 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
- (ii) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
- (iii) 1, -2, -5, -8, -11, ...
Barisan (i) diperoleh dengan memperbesar angka 3 pada suku sebelumnya dengan a = 3 dan b = 3.
Barisan (ii) diperoleh dengan memperbesar angka 2 pada suku sebelumnya dengan a = 2 dan b = 2.
Barisan (iii) diperoleh dengan memperbesar angka -3 pada suku sebelumnya dengan a = 1 dan b = -3.
Pada barisan (i), (ii) dan (iii) ini beda (selisih) dua suku yang berurutan tetap.
Jadi, barisan aritmetika merupakan barisan yang selisih antar dua suku berurutannya tetap atau sama. Selisih antar dua suku yang berurutan disebut beda dirumuskan dengan:
Suku pertama suatu barisan dinotasikan dengan a. Bentuk biasa barisan aritmetika yakni $a,\ a + b,\ a + 2b,\ a + 3b,\ . . .$
Rumus suku ke-n
Perhatikan kembali bentuk biasa barisan aritmetika:
$a,\ a + b,\ a + 2b,\ a + 3b,\ . . .$
Jadi,
Suku ke-1 = $U_{1}$ = a = a + (1 – 1) b
Suku ke-2 = $U_{2}$ = a + b = a + (2 – 1) b
Suku ke-3 = $U_{3}$ = a + 2b = a + (3 – 1) b
Suku ke-4 = $U_{4}$ = a + 3b = a + (4 – 1) b
Suku ke-5 = $U_{5}$ = a + 4b = a + (5 – 1) b
.
.
dan seterusnya
Dengan pola seumpama di atas, maka sanggup diperoleh rumus suku ke-n barisan aritmetika yaitu:
Suku Tengah
Suku tengah suatu barisan aritmetika merupakan suku barisan yang letaknya di tengah-tengah kalau banyak sukunya ganjil. Misal diberikan barisan aritmetika dengan suku tengah $U_{k}$, sehingga banyaknya suku $\left ( 2k \ -\ 1 \right )$, maka barisan itu sanggup dituliskan seumpama ini: $a,\ ...,\ U_{k},\ ...,\ U_{2k-1}$
Berdasarkan rumus ke-n barisan aritmetika, diperoleh:
$U_{k}\ =\ a\ +\ (k\ -\ 1)\ b\\ U_{k}\ =\ \frac{1}{2}\left [ 2a\ +\ 2(k\ -\ 1)\ b \right ]\\ U_{k}\ =\ \frac{1}{2}\left [ a\ +\ a\ +\ (2k\ -\ 2)\ b \right ]$
Oleh karena,
$a\ =\ U_{1}$, dan
$a\ +\ (2k\ -\ 2)\ b\ =\ U_{2k-1}$,
maka:
$U_{k}\ =\ \frac{1}{2}\left ( U_{1}\ +\ U_{2k-1} \right )$
Jadi, suku tengah barisan aritmetika adalah:
Apabila belum dikenali banyak sukunya, yang dikenali cuma suku terakhir $U_{n}$ maka suku tengah barisan aritmetika diputuskan dengan:
Sisipan
Misal diberikan dua bilangan x dan y (x ≠ y), kemudian di antara kedua bilangan tersebut disisipkan k bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika.
Maka beda dari barisan aritmetika tersebut sanggup diputuskan selaku berikut:
$y\ -\ \left ( x\ +\ kb \right )\ =\ b\\ y\ -\ x\ -\ kb\ =\ b\\ y\ -\ x\ =\ b\ +\ kb\\kb\ +\ b\ =\ y\ -\ x\\ \left ( k\ +\ 1 \right )b\ =\ y\ -\ x\\ b\ =\ \frac{y\ -\ x}{k\ +\ 1}$
Jadi, beda barisan aritmetika yang terbentuk adalah:
Contoh Soal
1. Diketahui barisan aritmetika 21, 17, 13, . . ., -11. Banyak suku barisan ganjil.
a. Tentukan suku tengahnya.
b. Suku ke berapa suku tengahnya?
Jawab
a. Suku tengah
Oleh sebab $U_{1}\ =\ 21$ dan $U_{n}\ =\ -11$, maka
$U_{k}\ =\ \frac{1}{2}\left ( U_{1}\ +\ U_{n} \right )\\ U_{k}\ =\ \frac{1}{2}\left \{ 21\ +\ \left ( -11 \right ) \right \}\\ U_{k}\ =\ \frac{1}{2}\left ( 10 \right )\\ U_{k}\ =\ 5$
Jadi, suku tengahnya yakni 5
b. $U_{n}\ =\ a\ +\ (n\ -\ 1)\ b\\ 5\ =\ 21\ +\ (n\ -\ 1)\ \left ( 17\ -\ 21 \right )\\ 5\ =\ 21\ +\ (n\ -\ 1)\ \left ( -4 \right )\\ 5\ =\ 21\ -\ 4n\ +\ 4\\ 5\ -\ 25\ =\ -4n\\ -20\ =\ -4n\\ n\ =\ 5$
Jadi, suku tengahnya merupakan suku ke-5
2. Didalam suatu gedung teater terdapat kursi yang dikelola selaku berikut. Baris pertama berisi 15 kursi, baris kedua 20 kursi, baris ketiga 25 kursi, dan seterusnya selisih 5 kursi dengan barisan yang didepannya.
a. Tentukan banyak kursi pada baris ke-6.
b. Baris ke berapa yang terisi 60 kursi?
Jawab
Aturan penempatan kursi membentuk barisan aritmetika dengan a = 15 dan b = 5.
a. $U_{n}\ =\ a\ +\ (n\ -\ 1)\ b\\ U_{6}\ =\ 15\ +\ (6\ -\ 1)\ 5\\ U_{6}\ =\ 15\ +\ 5\ \times \ 5\\ U_{6}\ =\ 15\ +\ 25\\ U_{6}\ =\ 40$
Jadi, banyak kursi pada baris ke-6 merupakan 40
b. $U_{n}\ =\ 60\\U_{n}\ =\ a\ +\ (n\ -\ 1)\ b\\ 60\ =\ 15\ +\ (n\ -\ 1)\ 5\\ 60\ =\ 15\ +\ 5n\ -\ 5\\ 60\ =\ 10\ +\ 5n\\ 60\ -\ 10\ =\ 5n\\ 50\ =\ 5n\\ n\ =\ 10$
Jadi, baris yang berisi 60 kursi merupakan baris ke-10
Deret Aritmetika
Carl Friedrick Gauss menyeleksi jumlah bilangan 1 – 100 dengan cara membalikkan bilangan tersebut kemudian menjumlahkannya. Hasil penjumlahannya dikalikan dengan banyak bilangan kemudian dibagi dengan 2.
Deret Aritmetika merupakan penjumlahan berurut suku-suku suatu barisan aritmetika. Bentuk biasa deret aritmetika yakni $a\ +\ (a + b)\ +\ (a + 2b)\ +\ (a + 3b)\ +\ . . . \ +\ \left ( a+\left ( n-1 \right )b \right )$
Rumus jumlah n suku pertama
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $S_{n}$. Dengan notasi sigma $S_{n}$ sanggup ditulis selaku berikut:
Selanjutnya, akan dicari bentuk biasa dengan menggunakan kaidah-kaidah notasi sigma:
Jadi, rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika yaitu:
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika kalau $U_{n}$ yang dikenali adalah:
Rumus Suku ke-n kalau $S_{n}$ yang dikenali yaitu:
Contoh Soal
1. Hitunglah jumlah 10 suku pertama deret aritmetika 2 + 4 + 6 + ...
Jawab
Suku pertamayaitu a = 2
Beda yakni b = 4 – 2 = 2
n = 10
$S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 2a\ +\ \left ( n-1 \right )b \right )\\ S_{10}\ =\ \frac{10}{2}\left ( 2\times 2\ +\ \left ( 10-1 \right )2 \right )\\ S_{10}\ =\ 5\left ( 4\ +\ 9\times 2 \right )\\ S_{10}\ =\ 5\left ( 4\ +\ 18 \right )\\ S_{10}\ =\ 5\left ( 22 \right )\\ S_{10}\ =\ 110$
2. Diketahui $U_{n}\ =\ 5\ -\ 3n$, hitunglah $S_{20}$
Jawab
$U_{1}$ = a = 5 – 3 . 1 = 5 – 3 = 2
$U_{2}$ = 5 – 3 . 2 = 5 – 6 = –1
b = $U_{2}$ − $U_{1}$ = – 1 – 2 = – 3
$S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 2a\ +\ \left ( n-1 \right )b \right )\\ S_{20}\ =\ \frac{20}{2}\left ( 2\times 2\ +\ \left ( 20-1 \right )-3 \right )\\ S_{20}\ =\ 10\left ( 4\ +\ 19\times -3 \right )\\ S_{20}\ =\ 10\left ( 4\ -\ 57 \right )\\ S_{20}\ =\ 10\left ( -53 \right )\\ S_{20}\ =\ -530$
3. Sebuah kerja keras konveksi memproduksi seragam siswa SMA. Pada permulaan buatan menciptakan 200 potong. Atas seruan pasar, buatan bertambah 50 potong setiap bulannya. Jika buatan dimulai pada bulan Mei 2014, berapa jumlah buatan hingga dengan bulan April 2015?
Jawab
Jumlah seragam yang dibuat setiap bulan membentuk barisan aritmetika dengan a = 200 dan b = 50.
$U_{1}$ = buatan pada bulan Mei 2014 = 200
$U_{2}$ = buatan pada bulan Juni 2014 = 250
.
.
.
$U_{12}$ = buatan pada bulan April 2015
Jumlah buatan hingga dengan April 2015 = $S_{12}$
$S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 2a\ +\ \left ( n-1 \right )b \right )\\ S_{12}\ =\ \frac{12}{2}\left ( 2\times 200\ +\ \left ( 12-1 \right )50 \right )\\ S_{12}\ =\ 6\left ( 400\ +\ 11\times 50 \right )\\ S_{12}\ =\ 6\left ( 400\ +\ 550 \right )\\ S_{12}\ =\ 6\left ( 950 \right )\\ S_{12}\ =\ 5.700$
Jadi, jumlah buatan hingga dengan April 2015 sebanyak 5.700 potong.
4. Seorang pegawai menabung pada suatu bank. Tahun pertama, setiap bulannya ia menabung Rp100.000,00. Tahun kedua, setiap bulannya ia menabung Rp125.000,00. Tahun ketiga, setiap bulannya ia menabung Rp150.000, dan seterusnya setiap tahun bertambah Rp25.000,00 per bulannya. Berapa jumlah duit pegawai itu setelah ditabungnya 15 tahun (bunga yang di bank tidak ikut diperhitungkan)?
Jawab
Tabungan perbulan pada tahun pertama = Rp100.000,00
Tabungan perbulan pada tahun kedua = Rp125.000,00
Tahun selanjutnya bertambah Rp25.000 perbulan
Jadi,
$U_{1}$ = simpanan pada tahun pertama = Rp100.000 x 12 = Rp1.200.000,00
$U_{2}$ = simpanan pada tahun kedua = Rp125.000 x 12 = Rp1.500.000,00
$U_{3}$ = simpanan pada tahun ketiga = Rp150.000 x 12 = Rp1.800.000,00
.
.
.
$U_{15}$ = simpanan pada tahun kelima belas
Beda = Rp1.800.000,00 − Rp1.500.000,00 = Rp300.000,00
Jumlah simpanan hingga pada tahun kelima belas = $S_{15}$
$S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 2a\ +\ \left ( n-1 \right )b \right )\\ S_{15}\ =\ \frac{15}{2}\left ( 2\times 1.200.000\ +\ \left ( 15-1 \right )300.000 \right )\\ S_{15}\ =\ \frac{15}{2}\left ( 2.400.000\ +\ 14\times 300.000 \right )\\ S_{15}\ =\ \frac{15}{2}\left ( 2.400.000\ +\ 4.200.000 \right )\\ S_{15}\ =\ \frac{15}{2}\left ( 6.600.000 \right )\\ S_{15}\ =\ \frac{99.000.000}{2}\\ S_{15}\ =\ 49.500.000$
Jadi, jumlah duit pegawai itu setelah ditabungnya 15 tahun merupakan Rp49.500.000,00
Bagaimana teman-teman? mudahkan?? Baiklah, kini kita lanjut ke bahan selanjutnya yakni perihal barisan dan deret geometri.
Barisan Geometri
Perhatikan duduk kasus berikut!
Dalam menghadapi suatu suasana tertentu komandan teritorial menampilkan perintah terhadap 15 orang komandan sektor, yang masing-masing meneruskan lagi terhadap 15 orang komandan pasukan. Tiap-tiap komandan pasukan juga meneruskan terhadap 15 orang komandan regu. Tiap komandan regu meneruskan terhadap anggota regunya yang jumlahnya masing-masing juga 15 orang. Berapakah orangkah yang mengenali wacana perintah itu?
Masalah tersebut akan gampang dijumlah apabila menggunakan barisan dan deret. Orang-orang yang mengenali perintah itu sanggup disusun menjadi suatu barisan bilangan berikut:
1, 1(15), (1)(15)(15), (1)(15)(15)(15), 1(15)(15)(15)(15), . . .
Barisan diatas dinamakan barisan geometri sebab masing-masing bilangan diperoleh dengan mengalikan bilangan tertentu ke bilangan sebelumnya untuk mendapatkan suku berikutnya.
Jadi, barisan geometri merupakan barisan dengan perbandingan atau rasio antara dua suku yang berurutan tetap. Suku pertama barisan geometri dinotasikan dengan a. Rasio atau pembanding dinyatakan dengan r. Bentuk Umum yakni $a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ ...$
Misalkan
- Barisan geometri dengan a = 8 dan r = 2 merupakan 8, 16, 32, 64, 128, ...
- Barisan geometri dengan a = 10 dan r = $\frac{1}{2}$ merupakan 10, 5, 2$\frac{1}{2}$, ...
- Barisan geometri dengan a = 4 dan r = -2 merupakan 4, -8, 16, -32, ...
Rumus suku ke-n
Perhatikan kembali bentuk barisan geometri:
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ ...$
Suku ke-1 = $U_{1}$ = $a$ = $ar^{0}$ = $ar^{1-1}$
Suku ke-2 = $U_{2}$ = $U_{1}r$ = $ar^{1}$ = $ar^{2-1}$
Suku ke-3 = $U_{3}$ = $U_{2}r$ = $ar^{2}$ = $ar^{3-1}$
Suku ke-4 = $U_{4}$ = $U_{3}r$ = $ar^{3}$ = $ar^{4-1}$
.
.
.
Suku ke-n = $U_{n}$ = $U_{n-1}r$ = $ar^{n-1}$
Dengan pola seumpama di atas, maka sanggup diperoleh rumus suku ke-n barisan geometri yaitu:
$r$ diputuskan dengan rumus:
Tanda dari a (suku pertama) dan r (rasio) akan mensugesti pula tanda suku-suku barisan tersebut.
- a > 0 dan r > 1 maka barisan naik, suku-sukunya positif
- a > 0 dan 0 < r < 1 maka barisan turun, suku-sukunya positif
- a < 0 dan r > 1 maka barisan turun, suku-sukunya negatif
- a < 0 dan 0 < r < 1 maka barisan naik, suku-sukunya negatif
- -1 < r < 0 maka barisan turun, suku-sukunya bergantian positif dan negatif
- r < -1 maka barisan naik, suku-sukunya bergantian positif dan negatif
Contoh Soal
1. Diketahui suatu barisan geometri dengan $a$ = 1 dan $U_{7}$ = 64. Tentukan $U_{10}$.
Jawab
$U_{7}$ = 64; $a$ = 1
$U_{n}\ =\ ar^{n-1}\\ U_{7}\ =\ 1\ \times \ r^{7-1}\\ 64\ =\ 1\ \times \ r^{6}\\ r^{6}\ =\ 64\\ r\ =\ \sqrt[6]{64}\\ r\ =\ \sqrt[6]{2^{6}}\\ r\ =\ 2$
Suku ke-10 = $U_{10}$ = $ar^{9}$ = $1\ \times \ 2^{9}$ = $512$
Jadi, suku ke-10 barisan tersebut merupakan 512.
2. Pada permulaan tahun, penduduk suatu kota merupakan 15.000 orang. Setiap permulaan tahun, jumlah penduduk kota tersebut tetap dihitung. Karena kelahiran dan urbanisasi penduduk, setiap tahunnya jumlah penduduk bertambah 5% dari tahun sebelumnya. Tentukan jumlah penduduk pada permulaan tahun ke-10!
Jawab
Penduduk pada permulaan tahun pertama merupakan $U_{1}$ = $a$ = 15.000
Pada permulaan tahun ke-2 adalah:
Pada permulaan tahun ke-3 adalah:
Jika proses ini dilanjutkan maka akan diperoleh:
$U_{n}\ =\ 15.000\ \left ( 1\ + \frac{5}{100} \right )^{n-1}$
Dengan demikian jumlah penduduk pada permulaan tahun ke-10 adalah:
Jadi, jumlah penduduk pada permulaan tahun ke-10 merupakan 23.270 orang
Suku Tengah
Suku tengah suatu barisan geometri merupakan suku barisan yang letaknya di tengah-tengah kalau banyak sukunya ganjil. Misal barisan geometri dengan suku tengah , sehingga banyaknya suku $(2k – 1)$, maka barisan itu sanggup dituliskan selaku
.
Suku tengah barisan geometri diputuskan dengan rumus:
Sisipan
Misal diberikan dua bilangan x dan y (x ≠ y), kemudian di antara kedua bilangan tersebut disisipkan k bilangan sehingga membentuk barisan geometri.
Maka rasio r dari barisan geometri tersebut sanggup diputuskan selaku berikut:
Jadi, rasio barisan geometri yang terbentuk adalah:
Deret Geometri
Telah kita pahami pada klarifikasi sebelumnya bahwa orang-orang yang memperoleh perintah komandan teritorial membentuk suatu barisan geometri. Oleh sebab itu, untuk menyeleksi banyaknya orang yang memperoleh perintah, sanggup lebih gampang dijumlah kalau digunakan rumus penjumlahan deret geometri.
Deret Geometri merupakan penjumlahan berurut suku-suku suatu barisan geometri. Bentuk Umumnya yakni $a\ +\ ar\ +\ ar^{2}\ +\ ar^{3}\ +\ ar^{4}\ +\ ...$
Rumus jumlah n suku pertama
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri, didapatkan oleh Carl Friedrick Gauss (matematikawan Jerman 1777-1855) selaku berikut.
Jadi, jumlah n suku pertama deret geometri dinyatakan dengan $S_{n}$, diputuskan dengan rumus:
atau
Selanjutnya kita sanggup menjumlah banyaknya orang yang menjalankan perintah komandan teritorial tersebut. Komandan teritorial selaku suku pertama, $a$ = 1. Komandan sektor ada 15 orang, jadi $U_{2}$ = 15. Masing-masing komandan sektor meneruskan terhadap 15 komandan pasukan memiliki arti $U_{3}$ = 15 x 15 dan seterusnya hingga pada anggota regu.
Jadi deret yang terjadi adalah:
$1\ +\ 15\ +\ 15\ .\ 15\ +\ 15\ .\ 15\ .\ 15\ +\ 15\ .\ 15\ .\ 15\ .\ 15$
Dari deret di atas, diperoleh $a$ = 1, $r$ = 15, dan $n$ = 5, sehingga
$S_{n}\ =\ \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$
$S_{5}\ =\ \frac{1\left ( 15^{5}-1 \right )}{15-1}$
$S_{5}\ =\ 54.241$
Jadi, banyak orang yang mengenali perintah itu merupakan 54.241 orang.
Contoh Soal
1. Diketahui deret geometri $2\ +\ 1\ +\ \frac{1}{2}\ +\ \frac{1}{4}\ +\ ...$ Tentukan
a. rasio
b. suku ke-10
c. jumlah 10 suku pertama
Jawab
a. Rasio
$r\ =\ \frac{U_{n}}{U_{n-1}}\\ r\ =\ \frac{U_{2}}{U_{1}}\\ r\ =\ \frac{1}{2}$
b. suku ke-10
$U_{n}\ =\ ar^{n-1}\\ U_{10}\ =\ ar^{10-1}\\ U_{10}\ =\ 2\ \times \ \left ( \frac{1}{2} \right )^{9}\\ U_{10}\ =\ 2\ \times \ \frac{1}{512}\\ U_{10}\ =\ \frac{1}{256}$
c. jumlah 10 suku pertama
$S_{n}\ =\ \frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}\\ S_{10}\ =\ \frac{2\left ( 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{10} \right )}{1-\frac{1}{2}}\\ S_{10}\ =\ \frac{2\left ( 1-\frac{1}{1.024} \right )}{\frac{1}{2}}\\ S_{10}\ =\ 2\left ( \frac{1.023}{1.024} \right )\ \times \ 2\\ S_{10}\ =\ \frac{2.046}{1.024}\ \times \ 2\\ S_{10}\ =\ 3,996$
2. Dalam suatu n suku deret geometri $U_{1}\ +\ U_{2}\ =\ 4$, $U_{n-1}\ +\ U_{n}\ =\ 108$ dan $S_{n}\ =\ 121$. Tentukan nilai $a$, $r$, dan $n$.
Jawab
$U_{1}\ +\ U_{2}\ =\ 4\\ a\ +\ ar\ =\ 4\\ a\left ( 1\ +\ r \right )\ =\ 4$
$a\ =\ \frac{4}{1\ +\ r }$ Persamaan (I)
$U_{n-1}\ +\ U_{n}\ =\ 108\\ ar^{n-2}\ +\ ar^{n-1}\ =\ 108$
$ar^{n-2}\left ( 1\ +\ r \right )\ =\ 108$ Persamaan (II)
Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii)
$ar^{n-2}\left ( 1\ +\ r \right )\ =\ 108\\ \left ( \frac{4}{1\ +\ r} \right )r^{n-2}\left ( 1\ +\ r \right )\ =\ 108\\ \frac{4r^{n-2}\left ( 1\ +\ r \right )}{1\ +\ r}\ =\ 108\\ 4r^{n-2}\ =\ 108\\ r^{n-2}\ =\ \frac{108}{4}\\ \frac{r^{n}}{r^{2}}\ =\ 27$
$r^{n}\ = 27r^{2}$ Persamaan (III)
Substitusi persamaan (i) dan persamaan (iii) ke rumus $S_{n}$
$S_{n}\ =\ \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\\ 121\ =\ \frac{\frac{4}{1\ +\ r }\left ( 27r^{2}-1 \right )}{r-1}\\ 121\ =\ \frac{\left ( \frac{108r^{2}-4}{1\ +\ r } \right )}{r-1}\\ 121r\ -\ 121\ =\ \frac{108r^{2}-4}{1\ +\ r }\\ \left ( 121r\ -\ 121 \right )\left ( 1\ +\ r \right ) =\ 108r^{2}-4\\ 121r^{2}\ -\ 121\ =\ 108r^{2}-4\\ 121r^{2}\ -\ 121\ +\ 4\ =\ 108r^{2}\\ 121r^{2}\ -\ 117\ =\ 108r^{2}\\ 121r^{2}\ =\ 108r^{2}\ +\ 117\\ 121r^{2}\ -\ 108r^{2}\ =\ 117\\ 13r^{2}\ =\ 117\\ r^{2}\ =\ \frac{117}{13}\\ r^{2}\ =\ 9\\ r\ =\ 3$
Karena $r^{n}\ = 27r^{2}$, maka:
$r^{n}\ = 27\left ( 3 \right )^{2}\\ r^{n}\ = \left ( 3 \right )^{3}\left ( 3 \right )^{2}\\ r^{n}\ = \left ( 3 \right )^{5}\\ n\ =\ 5$
Nilai a adalah:
$a\ =\ \frac{4}{1\ +\ r}\\ a\ =\ \frac{4}{1\ +\ 3}\\ a\ =\ \frac{4}{4}\ =\ 1$
Jadi, nilai $a\ =\ 1$, $r\ =\ 3$ dan $n\ =\ 5$.
3. Dari suatu deret geometri dikenali $U_{6}$ = 64 dan $U_{8}$ = $2^{10}$. Hitunglah jumlah enam suku pertama deret tersebut.
Jawab
$U_{8}\ =\ ar^{7}\ =\ 2^{10}$
$U_{6}\ =\ ar^{5}\ =\ 64\ =\ 2^{6}$
sehingga
$\frac{U_{8}}{U_{6}}\ =\ \frac{ar^{7}}{ar^{5}}\ =\ \frac{2^{10}}{2^{6}}$
$ \Leftrightarrow \ r^{2}\ =\ 2^{4}$
$ \Leftrightarrow \ r\ =\ \pm \ 2^{2}\ =\ \pm \ 4$
- Jika $r\ =\ 4$, maka
$ar^{5}\ =\ 64$
$a4^{5}\ =\ 4^{3}$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ \frac{4^{3}}{4^{5}}$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ \frac{1}{16}$ - Jika $r\ =\ -4$, maka
$ar^{5}\ =\ 64$
$a\left ( -4 \right )^{5}\ =\ 4^{3}$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ \frac{4^{3}}{\left ( -4 \right )^{5}}$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ -\frac{1}{16}$
Jadi, jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah:
- Untuk $a\ =\ \frac{1}{16}$, $r\ =\ 4$, maka
$S_{n}\ =\ \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$
$S_{6}\ =\ \frac{\frac{1}{16}\left ( 4^{6}-1 \right )}{4-1}$
$S_{6}\ =\ \frac{4.095}{48}$
$S_{6}\ =\ 85,3125$ - Untuk $a\ =\ -\frac{1}{16}$, $r\ =\ -4$, maka
$S_{n}\ =\ \frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$
$S_{6}\ =\ \frac{-\frac{1}{16}\left ( 1-\left ( -4 \right )^{6} \right )}{1-\left ( -4 \right )}$
$S_{6}\ =\ \frac{-4.095}{-80}$
$S_{6}\ =\ 51,1875$
4. Dalam suatu deret $S_{n}\ =\ 2^{n}\ -\ 1$. Buktikan bahwa deret itu merupakan deret geometri.
Jawab
Untuk menampilkan bahwa deret itu merupakan deret geometri maka mesti dicari dahulu suku ke-$n$.
$U_{n}\ =\ S_{n}\ -\ S_{n-1}$
$U_{n}\ =\ \left ( 2^{n}\ -\ 1 \right )\ -\ \left ( 2^{n-1}\ -\ 1\ \right )$
$U_{n}\ =\ 2^{n}\ -\ 1\ -\ 2^{n-1}\ +\ 1$
$U_{n}\ =\ 2^{n}\ -\ 2^{n-1}$
$U_{n}\ =\ 2^{n}\left ( 1\ -\ \frac{1}{2} \right )$
$U_{n}\ =\ 2^{n\ -\ 1}$
Selanjutnya mesti dicari hasil bagi dua suku yang berturutan yaitu
$\frac{U_{n}}{U_{n-1}}\ =\ \frac{2^{n\ -\ 1}}{2^{n\ -\ 2}}$
$ \Leftrightarrow \ =\ \frac{2^{n\ -\ 1}}{2^{n\ -\ 1\ -\ 1}}$
$ \Leftrightarrow \ =\ 2$
Ternyata, hasil bagi dua suku yang berturutan merupakan suatu konstanta, tidak tergantung dari nilai $n$ maka deret tersebut merupakan deret geometri.
5. Seutas tali diiris menjadi 6 bagian. Panjang keenam potong tali itu membentuk suatu deret geometri. Jika panjang potongan tali yang terpendek 3 cm dan terpanjang 96 cm, tentukan panjang tali semula.
Jawab
$U_{1}\ =\ a\ =\ 3$
$n\ =\ 6$
$U_{6}\ =\ 96\\ ar^{5}\ =\ 96\\ 3\ \times \ r^{5}\ =\ 96\\ r^{5}\ =\ \frac{96}{3}\\ r^{5}\ =\ 32\\ r\ =\ \sqrt[5]{32}\\ r\ =\ 2$
$S_{n}\ =\ \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\\ S_{6}\ =\ \frac{3\left ( 2^{6}-1 \right )}{2-1}\\ S_{6}\ =\ \frac{3\left ( 64-1 \right )}{2-1}\\ S_{6}\ =\ \frac{3\ \times \ 63}{1}\\ S_{6}\ =\ 189$
Jadi, panjang tali semula merupakan 189 cm
6. Suatu jenis kendaraan beroda empat mengalami depresiasi (penurunan harga jual) sebesar 15% pada setiap simpulan tahun. Jika harga kendaraan beroda empat gres Rp150.000.000,00, berapakah harga jual kendaraan beroda empat tersebut pada simpulan tahun ke-6?
Jawab
$U_{6}\ =\ 150.000.000\left ( 1-\frac{15}{100} \right )^{6-1}\\ U_{6}\ =\ 150.000.000\left ( 1-\frac{15}{100} \right )^{5}\\ U_{6}\ =\ 150.000.000\left (\frac{100-15}{100} \right )^{5}\\ U_{6}\ =\ 150.000.000\left (\frac{85}{100} \right )^{5}\\ U_{6}\ =\ 150.000.000\left (0,85 \right )^{5}\\ U_{6}\ =\ 150.000.000\ \times \ 0,4437053125\\ U_{6}\ =\ 66.555.797$
Jadi, harga jual kendaraan beroda empat tersebut pada simpulan tahun ke-6 merupakan Rp66.555.797,00
Materi selanjutnya yakni wacana deret geometri tak hingga. Hanya saja bahan ini sudah saya ulas pada postingan yang lain.
Untuk mempelajari bahan Deret Geometri Tak Hingga silahkan datangi postingan berikut:
Soal dan Pembahasan
Berikut teladan soal dan pembahasan barisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri.
1. Suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmetika berturut-turut merupakan 20 dan 40. Suku pertama dan beda dari barisan ini berturut-turut adalah...
Jawab
$U_{3}\ =\ 20$ dan $U_{8}\ =\ 40$
$U_{3}\ =\ a\ +\ (3\ -\ 1)\ b$
$20\ =\ a\ +\ 2b$
$a\ +\ 2b\ =\ 20$
$a\ =\ 20\ -\ 2b$ Persamaan (I)
$U_{8}\ =\ a\ +\ (8\ -\ 1)\ b$
$40\ =\ a\ +\ 7b$ Persamaan (II)
Substitusi persamaan (I) ke persamaan (II)
$40\ =\ a\ +\ 7b$
$40\ =\ 20\ -\ 2b\ +\ 7b$
$40\ =\ 20\ + 5b$
$20\ +\ 5b\ =\ 40$
$5b\ =\ 40\ -\ 20$
$5b\ =\ 20$
$b\ =\ \frac{20}{5}$
$b\ =\ 4$ (ini merupakan nilai beda)
Sehingga $a\ =\ 20\ -\ 2b$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ 20\ -\ 2\ \times \ 4$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ 20\ -\ 8$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ 12$ (ini merupakan nilai suku pertama)
Suku pertama dan beda dari barisan ini berturut-turut merupakan 12 dan 4
2. Diketahui suku ke-3 suatu barisan aritmetika merupakan 12, sedangkan jumlah suku ke-7 dan suku ke-8 merupakan 69. Suku ke-11 barisan tersebut adalah...
Jawab
$U_{3}\ =\ 12$ dan $U_{7}\ +\ U_{8}\ =\ 69$
$U_{3}\ =\ a\ +\ (3\ -\ 1)\ b$
$ 12\ =\ a\ +\ 2b$
$ a\ +\ 2b\ =\ 12$
$ a\ =\ 12\ -\ 2b$ Persamaan (I)
$U_{7}\ +\ U_{8}\ =\ 69$
$ a\ +\ 6b\ +\ a\ +\ 7b\ =\ 69$
$ 2a\ +\ 13b\ =\ 69$ Persamaan (II)
Substitusi persamaan (I) ke persamaan (II)
$2a\ +\ 13b\ =\ 69$
$ 2\left ( 12\ -\ 2b \right )\ +\ 13b\ =\ 69$
$ 24\ -\ 4b\ + 13b\ =\ 69$
$ 24\ +\ 9b\ =\ 69$
$ 9b\ =\ 69\ -\ 24$
$ 9b\ =\ 45$
$ b\ =\ 5$
Sehingga, $ a\ =\ 12\ -\ 2b$
$\Leftrightarrow \ a\ =\ 12\ -\ 2\ \times \ 5$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ 12\ -\ 10$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ 2$
Jadi, $U_{11}\ =\ a\ +\ (11\ -\ 1)\ b$
$ U_{11}\ =\ 2\ +\ 10\ \times \ 5$
$ U_{11}\ =\ 2\ +\ 50$
$ U_{11}\ =\ 52$
Suku ke-11 barisan tersebut merupakan 52
3. Seutas tali diiris 5 kepingan dengan panjang masing-masing kepingan membentuk barisan aritmetika. Bila tali yang terpendek merupakan 4 cm dan tali yang terpanjang 108 cm, maka panjang tali semula adalah...
Jawab
$n\ =\ 5$, $U_{1}\ =\ a\ =\ 4$, $U_{5}\ =\ 108$
Cari dahulu nilai $b$ dengan mempergunakan nilai $U_{5}\ =\ 108$
$U_{5}\ =\ a\ +\ (5\ -\ 1)\ b$
$ 108\ =\ 4\ +\ 4b$
$ 4\ +\ 4b\ =\ 108$
$ 4b\ =\ 108\ -\ 4$
$ 4b\ =\ 104$
$ b\ =\ \frac{104}{4}$
$ b\ =\ 26$
Hitunglah panjang tali menggunakan rumus deret aritmetika
$S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 2a\ +\ \left ( n-1 \right )b \right )$
$ S_{5}\ =\ \frac{5}{2}\left ( 2\ \times \ 4\ +\ \left ( 5-1 \right )26 \right )$
$ S_{5}\ =\ \frac{5}{2}\left ( 8\ +\ 4\ \times \ 26 \right )$
$ S_{5}\ =\ \frac{5}{2}\left ( 8\ +\ 104 \right )$
$ S_{5}\ =\ \frac{5}{2}\left ( 112 \right )$
$ S_{5}\ =\ \frac{560}{2}$
$ S_{5}\ =\ 280$
Jadi, panjang tali semula merupakan 280 cm
4. Dari suatu deret geometri dikenali $U_{8}\ =\ 36$ dan $S_{7}\ =\ 52$, maka $S_{8}$ adalah...
Jawab
$S_{8}\ =\ S_{7}\ +\ U_{8}$
$ S_{8}\ =\ 52\ +\ 36$
$ S_{8}\ =\ 88$
Jadi, $S_{8}\ =\ 88$
5. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-6 merupakan 486 dan suku ke-3 merupakan 18. Jumlah lima suku pertama deret yang bersesuaian adalah...
Jawab
$U_{3}\ =\ 18$ dan $U_{6}\ =\ 486$
$U_{n}\ =\ ar^{n-1}$
$ U_{3}\ =\ ar^{3-1}$
$ 18\ =\ ar^{2}$
$ ar^{2}\ =\ 18$
$ a\ =\ \frac{18}{r^{2}}$ Persamaan (I)
$U_{n}\ =\ ar^{n-1}$
$ U_{6}\ =\ ar^{6-1}$
$ 486\ =\ ar^{5}$
$ ar^{5}\ =\ 486$ Persamaan (II)
Substitusi persamaan (I) ke persamaan (II)
$ ar^{5}\ =\ 486$
$ \frac{18}{r^{2}}\ r^{5}\ =\ 486$
$ \frac{r^{5}}{r^{2}}\ 18\ =\ 486$ kedua sisi : 18
$ \frac{r^{5}}{r^{2}}=\ 27$
$ r^{5-2}\ =\ 27$
$ r^{3}\ =\ 27$
$ r\ =\ \sqrt[3]{27}$
$ r\ =\ 3$
Sehingga $ a\ =\ \frac{18}{r^{2}}$
$\Leftrightarrow \ a\ =\ \frac{18}{3^{2}}$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ \frac{18}{9}$
$ \Leftrightarrow \ a\ =\ 2$
Kita teruskan dengan mencari jumlah lima suku pertama
$S_{n}\ =\ \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$
$ S_{5}\ =\ \frac{2\left ( 3^{5}-1 \right )}{3-1}$
$ S_{5}\ =\ \frac{2\left ( 243-1 \right )}{2}$
$ S_{5}\ =\ \frac{2\left ( 242 \right )}{2}$
$ S_{5}\ =\ \frac{484}{2}$
$ S_{5}\ =\ 242$
6. Suku ke-$n$ suatu barisan aritmetika merupakan $U_{n}\ =\ 5\ -\ 3n$. Jumlah 16 suku pertama adalah...
Jawab
Mula-mula carilah nilai $U_{1}\ =\ a$
$U_{1}\ =\ 5\ -\ 3\ \times \ 1$
$ U_{1}\ =\ 5\ -\ 3$
$ U_{1}\ =\ 2$
Kemudian tentukan nilai $U_{2}$
$U_{2}\ =\ 5\ -\ 3\ \times \ 2$
$ U_{2}\ =\ 5\ -\ 6$
$ U_{2}\ =\ -1$
Lalu hitung selisih antara nilai $U_{1}$ dan $U_{2}$
$b\ =\ U_{2}\ -\ U_{1}\ =\ -1\ -\ 2\ =\ -3$
Nilai di atas masukkan ke rumus deret aritmetika dengan $n\ =\ 16$
$S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 2a\ +\ \left ( n-1 \right )b \right )$
$ S_{16}\ =\ \frac{16}{2}\left ( 2\ \times \ 2\ +\ \left ( 16-1 \right )\left ( -3 \right ) \right )$
$ S_{16}\ =\ 8\left ( 4\ +\ \left ( 15 \right )\left ( -3 \right ) \right )$
$ S_{16}\ =\ 8\left ( 4\ +\ \left ( -45 \right ) \right )$
$ S_{16}\ =\ 8\left ( -41 \right )$
$ S_{16}\ =\ -328$
Jadi, jumlah 16 suku pertama merupakan -328
7. Jumlah semua bilangan bundar antara 1 dan 200 yang habis dibagi 7 adalah...
Jawab
Bilangan yang habis dibagi 7 sama artinya dengan bilangan kelipatan 7. Bilangan kelipatan 7 antara 1 hingga 200 yakni 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196
Bisa ditarik kesimpulan dari barisan kelipatan 7 di atas yakni $U_{1}\ =\ a\ =\ 7$, $b\ =\ 7$, dan $n\ =\ 28$
Jumlah barisan bilangan di atas yaitu
$S_{28}\ =\ \frac{28}{2}\left ( 2\ \times \ 7\ +\ \left ( 28-1 \right )7 \right )$
$ S_{28}\ =\ 14\left ( 14\ +\ \left ( 27 \right )7 \right )$
$ S_{28}\ =\ 14\left ( 14\ +\ 189 \right )$
$ S_{28}\ =\ 14\left ( 203 \right )$
$ S_{28}\ =\ 2.842$
Jadi, jumlah bilangan yang habis dibagi oleh 7 antara 1 - 200 merupakan 2.842
8. Sebatang kawat diiris menjadi 5 kepingan sehingga potongan-potongannya membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan ketiga 4,5 m dan potongan terpanjang 10,125 m, tentukan panjang kawat sebelum dipotong.
Jawab
$U_{3}\ =\ 4,5$
$ \Rightarrow \ ar^{2}\ = 4,5$
$ \Rightarrow \ ar^{2}\ = \frac{9}{2}$
$U_{5}\ =\ 10,125$
$ \Rightarrow \ ar^{4}\ = 10,125$
$ \Rightarrow \ ar^{4}\ = \frac{81}{8}$
Kita teruskan dengan menjumlah nilai rasio ($r$)
$\frac{ar^{4}}{ar^{2}}\ =\ \frac{\frac{81}{8}}{\frac{9}{2}}$
$ \Leftrightarrow \ \frac{r^{4}}{r^{2}}\ =\ \frac{81}{8}\ \div \ \frac{9}{2}$
$ \Leftrightarrow \ r^{4-2}\ =\ \frac{81}{8}\ \times \ \frac{2}{9}$
$ \Leftrightarrow \ r^{2}\ =\ \frac{9}{4}$
$ \Leftrightarrow \ r\ =\ \sqrt{\frac{9}{4}}$
$ \Leftrightarrow \ r\ =\ \pm \ \frac{3}{2}$
Oleh sebab $U_{3}$ < $U_{5}$ memiliki arti $r\ =\ \frac{3}{2}$
Dari nilai ini kita sanggup menjumlah nilai $a$
$ar^{2}\ = \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \ a\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}\ = \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \ \frac{9a}{4}\ =\ \frac{9}{2}$
$\Leftrightarrow \ 18a\ =\ 36$
$\Leftrightarrow \ a\ =\ 2$
$S_{n}\ =\ \frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}$
$ S_{5}\ =\ \frac{2\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^{5}-1 \right )}{\frac{3}{2}-1}$
$ S_{5}\ =\ \frac{2\left ( \frac{3^{5}}{2^{5}}-1 \right )}{\frac{1}{2}}$
$ S_{5}\ =\ \frac{2\left ( \frac{3^{5}-2^{5}}{2^{5}} \right )}{\frac{1}{2}}$
$ S_{5}\ =\ \frac{2\left ( 3^{5}-2^{5} \right )}{2^{5}\ \times \ \frac{1}{2}}$
$ S_{5}\ =\ \frac{2\left ( 243-32 \right )}{2^{5}\ \times \ 2^{-1}}$
$ S_{5}\ =\ \frac{2\left ( 211 \right )}{2^{4}}$
$ S_{5}\ =\ \frac{422}{16}$
$ S_{5}\ =\ 26,375$
Jadi, panjang kawat sebelum diiris yakni 26,375 m
9. Tentukan rumus suku ke-$n$ barisan geometri berikut
a. 2, 4, 8, 16, ...
b. 81, 27, 9, 3, ...
Jawab
Inilah cara menyeleksi rumus suku ke-$n$ barisan geometri
$a\ =\ 2$
$r\ =\ \frac{U_{2}}{U_{1}}\ =\ \frac{4}{2}\ =\ 2$
$U_{n}\ =\ ar^{n-1}$
$ U_{n}\ =\ 2\ \times \ 2^{n-1}$
$ U_{n}\ =\ 2^{1+n-1}$
$ U_{n}\ =\ 2^{n}$$a\ =\ 81$
$r\ =\ \frac{U_{4}}{U_{3}}\ =\ \frac{3}{9}\ =\ \frac{1}{3}$
$U_{n}\ =\ ar^{n-1}$
$ U_{n}\ =\ 81\ \times \ \left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}$
$ U_{n}\ =\ 3^{4}\ \times \ \left ( 3^{-1} \right )^{n-1}$
$ U_{n}\ =\ 3^{4}\ \times \ 3^{-n+1}$
$ U_{n}\ =\ 3^{-n+1+4}$
$ U_{n}\ =\ 3^{-n+5}$
$ U_{n}\ =\ 3^{5-n}$
10. Suku ke-$n$ barisan aritmetika merupakan $U_{n}\ =\ 6n\ +\ 4$. Di setiap antara 2 suku disisipkan 2 suku baru, sehingga terbentuk deret aritmetika. Jumlah $n$ suku pertama deret yang terjadi adalah...
Jawab
Dari rumus $U_{n}\ =\ 6n\ +\ 4$, sanggup diputuskan $U_{1}$, $U_{2}$, $U_{3}$, $U_{3}$, ...
$U_{1}\ =\ a\ =\ 6\times 1\ +\ 4\ =\ 6\ + 4\ =\ 10$
$U_{2}\ =\ 6\times 2\ +\ 4\ =\ 12\ + 4\ =\ 16$
$U_{3}\ =\ 6\times 3\ +\ 4\ =\ 18\ + 4\ =\ 22$
Dari nilai suku-suku di atas, susunan barisan aritmetika mula-mula sanggup ditulis 10, 16, 22, 28, 34, ...
Dari soal sudah diterangkan bahwa diantara dua suku disisipkan 2 suku baru. Barisan bilangan gres yang terbentuk sanggup ditulis seumpama berikut:
$U_{1},\ \left ( U_{1}+b \right ),\ \left ( U_{1}+2b \right ),\ U_{2},\ \left ( U_{2}+b \right ),\ \left ( U_{2}+2b \right ),\ U_{3},\ ...$
atau
$10,\ \left ( 10+b \right ),\ \left ( 10+2b \right ),\ 16,\ \left ( 16+b \right ),\ \left ( 16+2b \right ),\ 22,\ ...$
Itu artinya $k\ =\ 2$. Sehingga beda barisan aritmetika yang gres merupakan selaku berikut.
$b\ =\ \frac{U_{2}\ -\ U_{1}}{k\ +\ 1}\\ b\ =\ \frac{16\ -\ 10}{2\ +\ 1}\\ b\ =\ \frac{6}{3}\\ b\ =\ 2$
Secara lengkapnya, susunan barisan aritmetika yang gres yakni 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, ...
Oleh sebab $a\ =\ 10$ dan $b\ =\ 2$ maka jumlah $n$ suku pertama deret yang gres adalah
$S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 2a\ +\ \left ( n-1 \right )b \right )$
$ S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 2\times 10\ +\ \left ( n-1 \right )2 \right )$
$ S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 20\ +\ 2n\ -\ 2 \right )$
$ S_{n}\ =\ \frac{n}{2}\left ( 2n\ -\ 18 \right )$
$ S_{n}\ =\ \frac{2n^{2}\ -\ 18n}{2}$
$ S_{n}\ =\ n^{2}\ -\ 9n$
Gimana teman-teman? mudahkah?? Bila masih ada kendala, mari mendiskusikannya lewat kolom komentar dibawah.
Demikian ulasan perihal barisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri, biar bermanfaat. Jangan lupa share terhadap teman-teman yang lain.
