Ulasan saya kali ini mengenai bahan mata kuliah teori himpunan dan kecerdikan matematika yakni Operasi Himpunan.
Materi ini juga sebagian dipelajari di jenjang pendidikan SMA. Langsung saja simak materinya lewat ulasan pada postingan ini.
Berikut operasi - operasi yang berlaku pada himpunan beserta sifat dan rujukan soal.
Irisan Dua Himpunan
Irisan (interseksi) himpunan A dan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota A dan anggota B. Operasi himpunan ini biasa ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B} dan dibaca A irisan B.
Contoh:
1. Diketahui: S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e}, C = {d, e, f}. Tunjukkan diagram Venn dari A ∩ B dan B ∩ C.
Jawaban
Anggota S yang menjadi anggota A dan B merupakan b dan c maka A ∩ B = {b, c}
Anggota S yang menjadi anggota B dan C merupakan d dan e maka B ∩ C = {d, e}
A ∩ B dan B ∩ C ditunjukkan dengan wilayah terarsir.
2. Misalkan E = {2, 3, 5, 7, 11} dan F = {3, 6, 9, 12}
Maka E ∩ F = {3}
3. Misalkan K merupakan himpunan mahasiswa Prodi Matematika Kelas B Semester I dan L merupakan himpunan pria dan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas).
Maka K ∩ L = Ø
Hal ini memiliki arti K dan L merupakan saling lepas atau K // L.
Catatan:
* A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama
* Kedua himpunan A dan B masing-masing menampung A ∩ B
* A ∩ B dan B ∩ A merupakan dua himpunan yang sama
* Kedua himpunan A dan B masing-masing menampung A ∩ B
Gabungan Dua Himpunan
Gabungan (union) dua himpunan A dan B memiliki arti penyatuan anggota-anggota himpunan A dan B. Gabungan dua himpunan A dan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B} dan dibaca A campuran B.
Apabila dikenali n(A) dan n(B) maka berlaku n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).
Contoh:
1. Diketahui S = {x | x ≤ 10, x ∈ N}, A = {1, 2, 3, 6, 8} dan B = {4, 6, 8, 9}. Tunjukkan A ∪ B dengan diagram Venn.
Jawaban:
S = {x | x ≤ 10, x ∈ N}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {6, 8}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {6, 8}
Diagram Venn
A ∪ B ditunjukkan dengan wilayah terarsir.
2. Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f} maka P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f}
Catatan:
* P ∪ Q dan Q ∪ P merupakan dua himpunan yang sama
* Kedua himpunan P dan Q masing-masing merupakan himpunan bab pada P ∪ Q
* P ∪ Q dan Q ∪ P merupakan dua himpunan yang sama
* Kedua himpunan P dan Q masing-masing merupakan himpunan bab pada P ∪ Q
3. Pada suatu taman kanak-kanak dikenali 43 anak suka melukis, 46 anak suka menyanyi, 20 anak suka keduanya, dan 11 anak tidak senang keduanya. Tentukan jumlah anak di taman kanak-kanak tersebut.
Jawaban:
Misal
P = banyak anak suka melukis
Q = banyak anak suka menyanyi
R = banyak anak tidak senang melukis dan menyanyi
n(P) = 43
n(Q) = 46
n(P ∩ Q) = 20
N(R) = 11
n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q) = 43 + 46 – 20 = 69
Jumlah anak = n(P ∪ Q) + n(R) = 69 + 11 = 80
Jadi, jumlah anak di taman kanak-kanak tersebut 80.
Misal
P = banyak anak suka melukis
Q = banyak anak suka menyanyi
R = banyak anak tidak senang melukis dan menyanyi
n(P) = 43
n(Q) = 46
n(P ∩ Q) = 20
N(R) = 11
n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q) = 43 + 46 – 20 = 69
Jumlah anak = n(P ∪ Q) + n(R) = 69 + 11 = 80
Jadi, jumlah anak di taman kanak-kanak tersebut 80.
Komplemen Suatu Himpunan
Komplemen suatu himpunan P merupakan himpunan yang terdiri atas semua anggota semesta S tetapi bukan anggota himpunan P.
Ditulis $P^{c}=\left \{ x\mid x\in S \ dan \ x\notin P \right \}$. Komplemen sering juga ditulis dengan $\overline{P}$.
Untuk pemanis suatu himpunan, berlaku $n\left ( s \right )=n\left ( A\cup B \right )+n\left ( A\cup B \right )^{c}$.
Contoh:
1. Diketahui $S=\left \{ x\mid -4< x< 3,x\in Z \right \}$ dan $A=\left \{ x\mid 0\leq x\leq 2,x\in Z \right \}$. Tunjukkan $A^{c}$ dengan diagram Venn.
Jawaban:
$S=\left \{ x\mid -4< x\leq 3,x\in Z \right \}$
$S =\left \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\right \}$
$A=\left \{ x\mid 0\leq x\leq 2,x\in Z \right \}$
$A=\left \{ 0,1,2 \right \}$
$A^{c}=\left \{ -3,-2,-1,3 \right \}$
Diagram Venn
$A^{c}$ ditunjukkan dengan wilayah terarsir.
2. Jika P = {a, b, c} dan S = {a, b, c, d, e, f, g, h} maka P$^{c}$ = {d, e, f, g, h}.
3. A ∪ A$^{c}$ = S dan A ∩ A$^{c}$ = $\varnothing $
4. S$^{c}$ = $\varnothing $ dan $\varnothing^{c}$ = S
5. (A$^{c}$)$^{c}$ = A
6. Dari 48 orang mahasiswa, 27 orang mahasiswa gemar matematika, 20 orang mahasiswa gemar fisika, 7 orang gemar matematika dan fisika. Tentukanlah banyaknya mahasiswa tidak gemar matematika dan fisika, buatlah diagram Venn-nya.
Jawaban:
Misalkan:
A = gemar matematika
B = gemar fisika
n(S) = 48
n(A) = 27
n(B) = 20
n(A ∩ B) = 7
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 27 + 20 – 7 = 40
A = gemar matematika
B = gemar fisika
n(S) = 48
n(A) = 27
n(B) = 20
n(A ∩ B) = 7
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 27 + 20 – 7 = 40
n(S) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)$^{c}$
48 = 40 + n(A ∪ B)$^{c}$
n(A ∪ B)$^{c}$ = 48 - 40 = 8
Selisih (Difference) Dua Himpunan
Himpunan P selisih Q merupakan himpunan yang anggotanya himpunan P tetapi bukan anggota himpunan Q. Ditulis P – Q = {$x\mid x\in $ P dan $x\notin $ Q} atau P ∩ Q$^{c}$ = {$x\mid x\in $ P dan $x\in $ Q$^{c}$}. P – Q dan P ∩ Q$^{c}$ merupakan dua himpunan yang sama.
Contoh:
1. Jika P = {a, b, c} dan Q = {1, 2} maka P – Q = P = {a, b, c}
2. Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f} maka P – Q = {a, b}
3. Diketahui S = {$x\mid -4< x\leq 8,x\in $ Z} dan V = {$x\mid -2< x\leq 5,x\in$ Z} dan W = {$x\mid 2< x, x\in $ Z}. Tunjukkan dengan diagram Venn himpunan V – W.
S = {$x\mid -4< x\leq 8,x\in $ Z} = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
V = {$x\mid -2< x\leq 5,x\in$ Z} = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
W = {$x\mid 2< x, x\in $ Z} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
W$^{c}$ = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}
V ∩ W = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {3, 4, 5, 6, 7, 8} = {3, 4, 5}
V ∪ W = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
V - W$^{c}$ = V ∩ W$^{c}$ = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {-3, -2, -1, 0, 1, 2}
V - W$^{c}$ = {-1, 0, 1, 2}
W$^{c}$ ditunjukkan dengan wilayah terarsir.
Jumlah Dua Himpunan
Jumlah himpunan A dan B (dinotasikan A + B) merupakan himpunan semua elemen A atau semua elemen B tetapi bukan elemen keduanya.
Secara notasi operasi jumlah sanggup ditulis:
A + B = {$x\mid x\in$ A atau $x\in$ B, dan $x\notin $ A ∩ B}
Contoh:
1. Jika A = {$x\mid x^{2}-8x+12$ = $0$} dan B = {$x\mid x^{2}-4$ = $0$}
maka A + B = {-2,6}
maka A + B = {-2,6}
2. P = {$x\mid x^{2}-8x+12$ = $0$} dan Q = {1, 3, 5}
maka P + Q = {1, 2, 3, 5, 6}
maka P + Q = {1, 2, 3, 5, 6}
3. Diketahui S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u}, A = (a, b, c, d, e} dan B = {a, e, i, o, u}.
Tunjukkan A + B dengan diagram Venn.
Jawaban:
A = (a, b, c, d, e}
B = {a, e, i, o, u}
B = {a, e, i, o, u}
A + B ditunjukkan dengan wilayah terarsir.
Beda Setangkup / Selisih Simetris
Selisih simetris dua himpunan A dan B ditulis A $\oplus $ B. Beda setangkup/selisih simetris merupakan himpunan yang elemen-elemen (unsur-unsur) dari P atau dari Q tetapi tidak kedua-duanya.
Notasi: A $\oplus $ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
Contoh:
Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5} maka:
(A ∪ B) = {2, 3, 4, 5, 6}
(A ∩ B) = {2}
A $\oplus $ B = {3, 4, 5, 6}
(A ∪ B) = {2, 3, 4, 5, 6}
(A ∩ B) = {2}
A $\oplus $ B = {3, 4, 5, 6}
Atau
A – B = {4, 6}
B – A = {3, 5}
A $\oplus $ B = {3, 4, 5, 6}
B – A = {3, 5}
A $\oplus $ B = {3, 4, 5, 6}
Beda setangkup menyanggupi sifat-sifat berikut:
A $\oplus $ B = B $\oplus $ A (sifat komutatif)
(A $\oplus $ B) $\oplus $ C = A $\oplus $ (B $\oplus $ C) (sifat asosiatif)
A $\oplus $ B = B $\oplus $ A (sifat komutatif)
(A $\oplus $ B) $\oplus $ C = A $\oplus $ (B $\oplus $ C) (sifat asosiatif)
Hukum-Hukum Himpunan
a. Hukum identitas
A ∪ Ø = A
A ∩ S = A
A ∪ Ø = A
A ∩ S = A
b. Hukum null atau dominasi
A ∩ Ø = Ø
A ∪ S = S
A ∩ Ø = Ø
A ∪ S = S
c. Hukum komplemen
A ∪ A$^{c}$ = S
A ∩ A$^{c}$ = Ø
A ∪ A$^{c}$ = S
A ∩ A$^{c}$ = Ø
d. Hukum idempotent
A ∪ A = A
A ∩ S = A
A ∪ A = A
A ∩ S = A
e. Hukum involusi
(A$^{c}$)$^{c}$ = A
(A$^{c}$)$^{c}$ = A
f. Hukum penyerapan (absorpsi)
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
g. Hukum komutatif
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
h. Hukum asosiatif
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
i. Hukum distributif
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
j. Hukum De Morgan
(A ∩ B)$^{c}$ = A$^{c}$ $\cup$ B$^{c}$
(A $\cup$ B)$^{c}$ = A$^{c}$ ∩ B$^{c}$
(A ∩ B)$^{c}$ = A$^{c}$ $\cup$ B$^{c}$
(A $\cup$ B)$^{c}$ = A$^{c}$ ∩ B$^{c}$
k. Hukum 0/1
$\varnothing ^{c}$ = S
S$^{c}$ = $\varnothing $
$\varnothing ^{c}$ = S
S$^{c}$ = $\varnothing $
Contoh soal tentang Hukum/Dalil De Morgan
Diketahui:
Himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Himpunan A = {1, 2, 3}
Himpunan B = {3, 4}
Himpunan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Himpunan A = {1, 2, 3}
Himpunan B = {3, 4}
Ditanya:
Tunjukkan kedua dalil/hukum De Morgan lewat himpunan di atas . . . ?
Tunjukkan kedua dalil/hukum De Morgan lewat himpunan di atas . . . ?
Jawaban:
A ∩ B = {3}
(A ∩ B)$^{c}$ = {1, 2, 4, 5, 6}
A$^{c}$ = {4, 5, 6}
B$^{c}$ = {1, 2, 5, 6}
A$^{c}$ $\cup$ B$^{c}$ = {4, 5, 6} $\cup$ {1, 2, 5, 6} = {1, 2, 4, 5, 6}
Jadi, (A ∩ B)$^{c}$ = A$^{c}$ $\cup$ B$^{c}$
A ∩ B = {3}
(A ∩ B)$^{c}$ = {1, 2, 4, 5, 6}
A$^{c}$ = {4, 5, 6}
B$^{c}$ = {1, 2, 5, 6}
A$^{c}$ $\cup$ B$^{c}$ = {4, 5, 6} $\cup$ {1, 2, 5, 6} = {1, 2, 4, 5, 6}
Jadi, (A ∩ B)$^{c}$ = A$^{c}$ $\cup$ B$^{c}$
A $\cup$ B = {1, 2, 3, 4}
(A $\cup$ B)$^{c}$ = {5, 6}
A$^{c}$ = {4, 5, 6}
B$^{c}$ = {1, 2, 5, 6}
A$^{c}$ ∩ B$^{c}$ = {4, 5, 6} ∩ {1, 2, 5, 6} = {5, 6}
Jadi, (A $\cup$ B)$^{c}$ = A$^{c}$ ∩ B$^{c}$
(A $\cup$ B)$^{c}$ = {5, 6}
A$^{c}$ = {4, 5, 6}
B$^{c}$ = {1, 2, 5, 6}
A$^{c}$ ∩ B$^{c}$ = {4, 5, 6} ∩ {1, 2, 5, 6} = {5, 6}
Jadi, (A $\cup$ B)$^{c}$ = A$^{c}$ ∩ B$^{c}$
Sifat-sifat yang Berlaku Pada Operasi Himpunan
1. n(S) = n(A $\cup$ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$
2. n(A $\cup$ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
3. n(S) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$
4. n(A$^{c}$) = n(S) - n(A)
5. n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A $\cup$ B)
6. n(A + B) = n(A $\cup$ B) – n(A ∩ B)
7. n(A - B) = n(A) – n(A ∩ B)
8. n(A + A) = 0
9. n(A $\cup$ S) = n(S)
10. n(A ∩ S) = n(A)
11. n(A - S) = 0
12. n(A $\cup$ A$^{c}$) = n(S)
13. n(A ∩ A$^{c}$) = 0
Contoh 1:
Tentukan nilai X dengan diagram venn berikut ini:
Jika n(S) = 16
Jawaban:
Diketahui:
n(S) = 16
n(A) = 3 + x
n(B) = 5 + x
n(A $\cup$ B)$^{c}$ = 6
Diketahui:
n(S) = 16
n(A) = 3 + x
n(B) = 5 + x
n(A $\cup$ B)$^{c}$ = 6
Ditanya: nilai x [n(A ∩ B)]...?
Penyelesaian:
n(S) = n(A $\cup$ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$
16= (3 + x) + (5 + x) – x + 6
16= 3 + x + 5 + x – x + 6
16= 14 + x
Atau sanggup ditulis:
14 + x = 16 (kedua segi dikurang 14)
14 + x – 14 = 16 – 14
x = 2
n(S) = n(A $\cup$ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$
16= (3 + x) + (5 + x) – x + 6
16= 3 + x + 5 + x – x + 6
16= 14 + x
Atau sanggup ditulis:
14 + x = 16 (kedua segi dikurang 14)
14 + x – 14 = 16 – 14
x = 2
Contoh 2:
Perhatikan gambar berikut:
Jika n(S) = 27, tetapkan nilai x dan n(A)!
Jawaban:
Diketahui:
n(S) = 27
n(A) = 3x + 6
n(B) = 11
n(A $\cup$ B)$^{c}$ = x
n(A ∩ B) = 6
n(S) = 27
n(A) = 3x + 6
n(B) = 11
n(A $\cup$ B)$^{c}$ = x
n(A ∩ B) = 6
Ditanya: nilai x dan n(A)...?
Penyelesaian:
n(S) = n(A $\cup$ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$
27 = (3x + 6) + 11 – 6 + x
27 = 3x + 6 + 11– 6 + x
27 = 4x + 11
Atau sanggup ditulis:
4x + 11 = 27 (kedua segi dikurang 11)
4x + 11 – 11 = 27 – 11
4x = 16 (kedua segi dibagi 4)
x= 4
n(S) = n(A $\cup$ B) + n(A $\cup$ B)$^{c}$
27 = (3x + 6) + 11 – 6 + x
27 = 3x + 6 + 11– 6 + x
27 = 4x + 11
Atau sanggup ditulis:
4x + 11 = 27 (kedua segi dikurang 11)
4x + 11 – 11 = 27 – 11
4x = 16 (kedua segi dibagi 4)
x= 4
Jadi, nilai n(A) = 3x + 6
= 3 $\times $ 4 + 6
= 12 + 6
= 18
= 3 $\times $ 4 + 6
= 12 + 6
= 18
Jika teman-teman butuh bahan lengkapnya, silahkan download file pdf-nya lewat tombol berikut:
Demikian bahan tentang operasi himpunan, supaya bermanfaat. Baca juga tentang pengertian dan cara menyatakan himpunan.
Buat lebih berguna, kongsi:
